Moc omegi, pytanie

[izaizaiza]

Zbiór \(\displaystyle{ A={1,2,3,...,4n}}\) podzielono w sposób losowy na dwa równoliczne podzbiory. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w obu zbiorach jest tyle samo liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ n}\).

Dlaczego

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= {4n \choose 2n}}\),

nie zaś \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= \frac{{4n \choose 2n}}{2!}}\) ?

[mat_61]

Jeżeli podzbiory są nierozróżnialne, to poprawna jest druga odpowiedź:

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= \frac{{4n \choose 2n}}{2!}}\)

-- 27 mar 2012, o 00:15 --

Szczegółowe wyjaśnienie dlaczego tak jest i jak liczyć ilość możliwych podziałów zbioru na rozróżnialne i nierozróżnialne podzbiory masz tutaj: https://www.matematyka.pl/230511.htm Szczególnie posty: 9 sty 2011, o 09:29 oraz 12 sty 2011, o 10:55

[izaizaiza]

A tutaj nie było to właśnie w domyśle, że są nierozróżnialne? Skoro wyznaczenie pierwszego zbioru jednoznacznie określa elementy drugiego?

[mat_61]

Gdybym czytał treść zadania, to uznałbym, że zbiory są nierozróżnialne.

Z treści Twojego postu rozumiem, że autor miał na myśli coś innego.

Oczywiście wybór elementów jednego zbioru określa jednoznacznie elementy drugiego. Dla obliczenia mocy zbioru istotne jest jednak to czy te zbiory są rozróżnialne.

Jeżeli w zadaniu mamy policzyć p-stwo to przy obydwu interpretacjach będziemy mieli taki sam wynik, bo zarówno przy liczeniu mocy zbioru Omega jak i zbioru A albo podzielimy przez \(\displaystyle{ 2!}\) albo nie.

[izaizaiza]

Znalazłam w Internecie 3 rozwiązania tego zadania i w każdym zbiory uznawane były za rozróżnialne. Tak sobie myślę, może to była jedna z trudności zadania, żeby rozważyć 2 przypadki i dojść do wniosku, że prawdopodobieństwa będą takie same?

Dzięki za pomoc

[mat_61]

Jeżeli jest to zadanie np. z jakiegoś zbioru dla którego jest podana odpowiedź, to ta odpowiedź wskazuje także na intencje autora zadania i stąd pojawiają się odpowiedzi zgodne z tą intencją.

Ja uważam, że treść zadania powinna być jednoznaczna na tyle na ile to jest możliwe tak aby uniknąć wątpliwości co do jej interpretacji.