Rozkład jednostajny,wyznacz dystrybuantę

[Kanodelo]

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ (1,3)}\). Niech \(\displaystyle{ Y=-3X+2}\). Wyznacz dystrybuantę zmiennej Y. Oblicz \(\displaystyle{ P(Y>-5)}\).

Robie to tak:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{3-2} \ dla \ x\in[1,3] \\ 0 \ dla \ x\notin[1,3] \end{cases} \\
F_Y(t)=P(Y<t)=P(-3X+2<t)=P(X> \frac{2-t}{3}) =\int _{ \frac{2-t}{3} }^{\infty} f(x) \mbox{d}x =\int _{ \frac{2-t}{3} }^{1}0 \mbox{d}x +\int_1^3 \frac{1}{2} \mbox{d}x +\int_3^\infty 0 \mbox{d}x =\left[ \frac{1}{2}x \right]_1^3=1}\)
I jakoś mam dziwne przeczucie,że tak nie powinno wyjść, tylko co jest źle?

[szw1710]

\(\displaystyle{ F_Y(t)=P\left(X>\frac{2-t}{3}\right)=1-P\left(X<\frac{2-t}{3}\right)=1-F_X\left(\frac{2-t}{3}\right)}\)

I koniec Uwaga: korzystałem przy prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego z ciągłości rozkładu pomijając nierówność słabą.

[Kanodelo]

Czyli że nie trzeba tutaj liczyć całki... na zajęciach robiliśmy takie samo zadanie, tylko że był rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\) i \(\displaystyle{ Y=3X+6}\), i tam liczyliśmy całki. Myślałem że tu jest tak samo.

[szw1710]

Nie musisz. Dystrybuanta rozkładu jednostajnego jest oczywista do wyznaczenia i za jej pomocą znajdziesz tę, której potrzebujesz. Mam propozycję: wyznacz moją metodą dystrybuantę zmiennej przerobionej na ćwiczeniach. Oczywiście dokończ to, czyli rozważ odpowiednie przypadki.

[Kanodelo]

\(\displaystyle{ Y=3X+6 \\ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2} \ dla \ x\in[-1,1] \\ 0 \ dla \ x\notin[-1,1] \end{cases} \\ \\ F_Y(t)=P(Y<t)=P(3X+6<t)=P(X< \frac{t-6}{3})=F\left( \frac{t-6}{3} \right)}\)
to zachodzi dla \(\displaystyle{ -1< \frac{t-6}{3}<1}\) czyli \(\displaystyle{ 3<t<9}\)
dla pozostałych \(\displaystyle{ t}\) zachodzi \(\displaystyle{ F_Y(t)=0}\)

[szw1710]

Tak: zmienna \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [3,9].}\) To jest dość oczywiste, ale niekonieczne do zrobienia zadania. Zapomnijmy o tym.

Napisz dokładny wzór na \(\displaystyle{ F}\) i na jego podstawie, uwzględniając wyniki Twoich obliczeń, podaj wzór na \(\displaystyle{ F_Y.}\)

[Kanodelo]

Chyba tak: \(\displaystyle{ F_Y(t)= \begin{cases} \frac{1}{2} \ dla \ x\in[3,9] \\ 0 \ dla \ x\notin[3,9]\end{cases}}\)

[szw1710]

To masz gęstość. Napisz najpierw dokładny wzór na dystrybuantę \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ (-1,1).}\)

[Kanodelo]

\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \ dla \ x\le a \\ \frac{x-a}{b-a} \ dla \ x\in(a,b] \end{cases}}\)

czyli
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \ dla \ x\le -1 \\ \frac{x+1}{2} \ dla \ x\in(-1,1] \end{cases} \\
F(t)= \begin{cases} 0 \ dla \ x\le -1 \\ \frac{ \frac{t-6}{3}+1 }{2}=\frac{t-6}{3} \ dla \ t\in(-1,1] \end{cases}}\)

[szw1710]

Oraz jedynka dla \(\displaystyle{ x>b.}\)

Ostatni wzór opisuje Ci \(\displaystyle{ F_Y(t)=F\left(\frac{t-6}{2}\right),}\) a nie \(\displaystyle{ F(t).}\)

I nie dla \(\displaystyle{ t\in(-1,1]}\), ale dla \(\displaystyle{ \frac{t-6}{2}\in(-1,1]}\) czyli dla \(\displaystyle{ t\in(3,9]}\)

To zwykłą transformacja funkcji.

[Kanodelo]

Rzeczywiście, mój błąd, bo zapomniałem zamienić -1,1 na 3,9 ale rozumiem o co chodzi.A jak bym miał wyznaczyć \(\displaystyle{ P(Y>-5)}\) na podstawie wzoru na dystrybuantę, to po prostu
\(\displaystyle{ P(Y>-5)=1-P(Y<-5)=1-F(-5)}\) i podstawiam -5 do wzoru?

[szw1710]

Ale \(\displaystyle{ 1-F_Y(-5)}\)

Jeśli masz tylko to zadanie, wystarczy posłużyć się dystrybuantą \(\displaystyle{ F}\) i definicją \(\displaystyle{ Y.}\) To taki szczególny przypadek tego, co Ci pokazałem ogólnie (wyznaczyliśmy jedną dystrybuantę w oparciu o drugą).