Rzut n razy kostką do gry

[pnx]

Rzucamy n razy rzetelną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że we wszystkich n rzutach pojawi się:
a) jeden wynik (np. same jedynki lub same dwójki itd.)
b) dwa wyniki (np. same jedynki i dwójki lub jedynki i trójki itd.)

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Przestrzeń zdarzeń chyba trzeba obliczyć z wariacji z powtórzeniem, ale jak resztę, żeby to miało sens?

[mat_61]

Wskazówka:

Wszystkich możliwych rezultatów rzutów jest oczywiście \(\displaystyle{ |\Omega|=6^n}\) (w każdym z rzutów jest możliwa jedna z sześciu możliwości)

a) Teraz zastanów się ile jest rezultatów rzutów dla takich samych wyników w każdym rzucie (wybieramy jedną z sześciu możliwości i wówczas dla każdej z nich mamy .... możliwych wyników dla n rzutów)

b) Tutaj analogicznie: wybieramy dwie liczby z sześciu (ile jest możliwości ?) i teraz dla każdego takiego zestawu mamy ... możliwych wyników dla n rzutów)

[pnx]

Czyli jeśli dobrze rozumiem to ma być tak:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{{6\choose 1} \cdot n}{ 6^{n} }}\)


\(\displaystyle{ P(B)=\frac{{6\choose 2} \cdot n}{ 6^{n} }}\)

Jeśli tak, to dla B coś jest źle bo podstawieniu \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ P(B)>1}\)

[mat_61]

Nie.

1. Tam nie ma być mnożenia przez \(\displaystyle{ n}\).

a) Dla pojedynczej liczby wyobraź sobie, że wybierasz (losujesz) jedną liczbę z sześciu. Teraz bierzesz kostkę z pustymi ściankami i na wszystkich ściankach malujesz wylosowaną liczbę oczek. Taką kostką rzucasz \(\displaystyle{ n}\) razy.

b) Dla "podwójnej liczby" wybierasz (losujesz) dwie liczby z sześciu. Teraz bierzesz pusty krążek i na jednej stronie malujesz jedną z wylosowanych liczb a na drugiej stronie malujesz drugą z wylosowanych liczb. Takim krążkiem rzucasz \(\displaystyle{ n}\) razy (ale nie uwzględniasz tych wyników gdy rezultat wszystkich rzutów jest taki sam).

2. Oczywiście dla zadania a) \(\displaystyle{ n \ge 1}\) z tym, że dla \(\displaystyle{ n=1, \ P(A)=1}\), bo przy jednym rzucie musi wypaść tylko jedna liczba.

Jeżeli chodzi o zadanie b) to skoro wśród wyrzuconych muszą być dwa różne wyniki, to zadanie ma sens dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) . Nie zapomnij jednak, że nie uwzględniasz tych wyników gdy rezultat wszystkich rzutów jest taki sam.

[pnx]

Czyli po prostu zostaje wynik:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{{6\choose 1} }{ 6^{n} }}\)


\(\displaystyle{ P(B)=\frac{{6\choose 2} }{ 6^{n} }}\)

A może dla b:
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{{6\choose 1} \cdot {5\choose 1} }{ 6^{n} }}\)

[mat_61]

Nie, to nie tak:

a) tutaj jest akurat OK (ale chyba bez zrozumienia dlaczego jest właśnie tak).
Jak już mamy wybraną liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}}\) to wówczas przy \(\displaystyle{ n}\) rzutach może być \(\displaystyle{ n}\) jedynek albo \(\displaystyle{ n}\) dwójek itd. Można powiedzieć, że jest to n-elementowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru 1-elementowego co oznacza, że mamy \(\displaystyle{ 1^n}\) możliwych wyników. Oczywiście \(\displaystyle{ 1^n=1}\)

b) Natomiast tutaj wybieramy z tego samo zbioru dwie liczby (to masz obliczone poprawnie), np. \(\displaystyle{ \left\{ 2, 5\right\}}\). Teraz mamy \(\displaystyle{ n}\) rzutów, czyli za pierwszym razem może wypaść 2 lub 5 (2 możliwości), za drugim razem także 2 lub 5 (2 możliwości) itd. Jest to więc n-elementowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru 2-elementowego co oznacza, że mamy \(\displaystyle{ 2^n}\) możliwych wyników.

Ale zauważ, że wśród tych wariacji z powtórzeniami jest też taka, że powtarzają się \(\displaystyle{ n}\) razy same dwójki oraz taka, że powtarzają się \(\displaystyle{ n}\) razy same piątki. Ponieważ nas interesują tylko takie wyniki, że spośród \(\displaystyle{ n}\) rzutów występują obydwie liczby, to musimy od wszystkich możliwości odjąć te dwa przypadki. Wszystkich wyników rzutów dla wybranej dwójki liczb jest więc \(\displaystyle{ 2^n-2}\)

Pozostaje obliczenie p-stw.

Czy teraz rozumiesz dlaczego jest takie rozwiązanie?

[pnx]

Teraz już widzę dlaczego tak jest. Dziękuję. Pomogły bardzo opisowe wyjaśnienia.