Znienna losowa X ma rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f(x)=\frac{c}{7+x^4}}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\). Znajdź rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=F(X)}\), gdzie F jest dystrybuantą rozkładu zmiennej X (wskazówka:nie musisz liczyć żadnej całki)
Skoro podali taką wskazówke, to jak to zrobić>
Znajdź rozkład zmiennej
-
szw1710
Znajdź rozkład zmiennej
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie dystrybuantą zmiennej \(\displaystyle{ Y.}\)
Pomysł: oczywiście dla \(\displaystyle{ x\le 0}\) mamy \(\displaystyle{ G(x)=0}\) oraz \(\displaystyle{ G(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 1.}\) Pozostaje sprawdzić czy czasem dla \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) dystrybuanta \(\displaystyle{ F}\) nie jest czasem bijekcją \(\displaystyle{ (0,1)}\) na siebie. Wtedy łatwo sprawdzamy, że \(\displaystyle{ G(x)=x.}\) Byłoby bowiem \(\displaystyle{ G(x)=P(F(X)<x)=P(X<F^{-1}(x))=F(F^{-1}(x))=x.}\)
Pomysł: oczywiście dla \(\displaystyle{ x\le 0}\) mamy \(\displaystyle{ G(x)=0}\) oraz \(\displaystyle{ G(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 1.}\) Pozostaje sprawdzić czy czasem dla \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) dystrybuanta \(\displaystyle{ F}\) nie jest czasem bijekcją \(\displaystyle{ (0,1)}\) na siebie. Wtedy łatwo sprawdzamy, że \(\displaystyle{ G(x)=x.}\) Byłoby bowiem \(\displaystyle{ G(x)=P(F(X)<x)=P(X<F^{-1}(x))=F(F^{-1}(x))=x.}\)