pewne bankructwo właściciela ruletki

Jozio0506 · Post autor: **Jozio0506** » 22 mar 2012, o 16:31

Mój kolega twierdzi, że każdy właściciel ruletki przy nieskończonej liczbie rzutów stanie się bankrutem, jeśli tylko jego kapitał początkowy jest skończony. Nie ma znaczenia jak dużą przewagę ma on przewagę nad graczem tj. 51%, 60%, 90%, czy też 99,9%.
Strasznie kłóci się to z moim zdrowym rozsądkiem. Zdrowy rozsądek bywa bardzo zawodny, więc jako kompletny laik proszę was o pomoc.

Qń · Post autor: Qń » 22 mar 2012, o 17:13

Sprecyzuj warunki: w jaki sposób stawia się pieniądze i ile wynoszą wygrana i przegrana w pojedynczej grze.

Q.

Jozio0506 · Post autor: **Jozio0506** » 22 mar 2012, o 17:36

Są rozmaite możliwości, które sprowadzają się do zasady, że właściciel ruletki ma przewagę nad graczem w każdym rzucie.
Dla przykładu. Ruletka niech ma 50 pól: 20 czarnych, 20 czerwonych i 10 białych. Gracz może obstawiać tylko czerwone albo czarne i jeśli trafi wygrywa dwukrotność postawionej kwoty (jeśli nie trafi, to przegrywa całą postawioną kwotę). Przyjmijmy, że gracz stawia cały czas zakład w tej samej wysokości.

Qń · Post autor: Qń » 22 mar 2012, o 18:00

Jeśli gracz zaczyna ze skończonym kapitałem, to przecież jest niezerowe prawdopodobieństwo, że to on zbankrutuje.

Q.

Jozio0506 · Post autor: **Jozio0506** » 22 mar 2012, o 18:15

Przepraszam, że - najwyraźniej - tyle niedopowiedzeń zawarłem. Gracz (gracze) ma nieskończony kapitał.

Jedwabisty · Post autor: **Jedwabisty** » 22 mar 2012, o 21:46

Czyli wg ciebie właściciel bankrutuje, gdy nie ma już pieniędzy, tak? Rozumiem, że nie ma takiej sytuacji, że właściciel, który ma już mało pieniędzy i spodziewa się, że zbankrutuje, pożycza pieniądze i wypłaca graczowi, gdyż liczy że gracz będzie grał dalej i w końcu przegra, wtedy właściciel odzyska pieniądze, ureguluje długi i nie będzie bankrutem.
To oczywiście zależy od tego ile obstawi gracz. Ale wydaje mi się, że zakładając, że prawdopodobieństwo wygranej jest zawsze takie samo, bardzo mało prawdopodobne jest wygrywanie non-stop (tak jak próby Bernoulliego).

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 22 mar 2012, o 22:27

Jozio0506 pisze:Przepraszam, że - najwyraźniej - tyle niedopowiedzeń zawarłem. Gracz (gracze) ma nieskończony kapitał.

Przy takim warunku to tylko potrzeba nieskończenie wiele czasu aby wszystko przegrał.

Jozio0506 · Post autor: **Jozio0506** » 22 mar 2012, o 23:25

Właściciel ma skończoną - określoną na początku - ilość pieniędzy, przy czym może to być jakakolwiek ilość (poza nieskończoną).
Gracz ma za to nieskończoną ilość pieniędzy.
Właściciel ma w każdym rzucie ruletki przewagę, przy czym może być to jakakolwiek przewaga.

Czy przy nieskończonej liczbie rzutów prawdopodobieństwo tego, że właściciel zostanie z niczym wynosi 1 ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 23 mar 2012, o 11:55

Wg mnie nie, bo ma też i to sporą szansę, że wygra (kasę).

Jozio0506 · Post autor: **Jozio0506** » 23 mar 2012, o 15:07

Przedstawię argument kolegi na to, że tak (że właściciel prędzej czy później zbankrutuje).

Gdy dane zdarzenie ma szanse zaistnieć (nawet jeśli ma na to 0.0000000000000001%), to w nieskończonej próbce kiedyś się trafi. Zatem nie ma znaczenia jak długi musi być ciąg porażek właściciela (tym samym nie ma znaczenia ile zwycięstw przed pechową serią odniósł) ruletki i jak mało będzie on prawdopodobny, w nieskończenie dużej próbce kiedyś nastąpi.

Czy to rozumowanie jest poprawne?

Qń · Post autor: Qń » 23 mar 2012, o 19:13

Jozio0506 pisze:Gdy dane zdarzenie ma szanse zaistnieć (nawet jeśli ma na to 0.0000000000000001%), to w nieskończonej próbce kiedyś się trafi.

Nie.

Przedstawiony problem to klasyczne zagadnienie o ruinie gracza (tutaj: właściciela ruletki). Załóżmy, że jego początkowy kapitał to \(\displaystyle{ a}\) jednostek, prawdopodobieństwo wygrania jednostki (czyli wpłaty hazardzisty) to \(\displaystyle{ p}\) oraz prawdopodobieństwo przegrania jednostki (wpłata hazardzisty minus wypłata dla niego) to \(\displaystyle{ q}\).
Wówczas prawdopodobieństwo ruiny gracza to co prawda\(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ p\le q}\), ale już tylko \(\displaystyle{ \left( \frac{q}{p} \right)^a}\) dla \(\displaystyle{ p>q}\) (a z taką sytuacją mamy do czynienia).

Do bardzo formalnego uzasadnienia tego faktu potrzebne jest pojęcie martyngału, do odrobinę mniej formalnego wystarczą wzór na prawdopodobieństwo całkowite i odrobina sprawności rachunkowej.

Q.

Jozio0506 · Post autor: **Jozio0506** » 23 mar 2012, o 23:11

Bardzo dziękuję za odpowiedzi.
Chociaż pytanie może się wydać dziwne, to chciałbym jeszcze zapytać dlaczego twierdzenie

"Gdy dane zdarzenie ma szanse zaistnieć (nawet jeśli ma na to 0.0000000000000001%), to w nieskończonej próbce kiedyś się trafi."

jest nieprawdziwe. O ile oczywiście istnieje odpowiedź, którą mogę zrozumieć nie posiadając większego przygotowania matematycznego .

Qń · Post autor: Qń » 24 mar 2012, o 00:18

Jozio0506 pisze:dlaczego twierdzenie
"Gdy dane zdarzenie ma szanse zaistnieć (nawet jeśli ma na to 0.0000000000000001%), to w nieskończonej próbce kiedyś się trafi."
jest nieprawdziwe.

W kontekście rzeczonego problemu nie bardzo wiadomo co miałoby znaczyć to twierdzenie.

Owszem, jeśli wykonujemy nieskończenie wiele jednakowych doświadczeń z niezerowym prawdopodobieństwem sukcesu, to na pewno wygramy co najmniej raz. Na przykład grając nieskończenie długo w totka, na 100% trafimy szóstkę (nawiasem mówiąc: trafimy nieskończenie wiele razy, ale to już wynik z teorii mocy).

Ale w zagadnieniu ruiny gracza, kiedy to sytuacja zmienia się dynamicznie, nie bardzo wiadomo co miałoby oznaczać "nieskończona próbka".

Q.