Rzut 6 razy monetą, szóstka w totka, rzut kostkami, karty

[Alighieri]

Witam. Prosiłbym o sprawdzenie zadań, czy dobrze kombinowałem przy rozwiązywaniu i o pomoc z jednym zadaniem, którego kompletnie nie umiem ugryźć

1.Rzucamy 6 razy monetą. Jakie są szanse, że wyrzucimy dokładnie 3 razy reszkę?
2. Jakie są szanse uzyskania sześciu trafień w toto-lotku, gdzie losuje się 6 liczb z 49?
3. Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ 1,2,3, ... , 99}\) losujemy jedną. Jakie są szanse, że będzie ona podzielna przez 2 lub 3? A przez 2 lub 3 lub 5?
4. Rzucamy trzy razy kostką. Jaka jest szansa, że za każdym razem otrzymamy inną liczbę oczek?
5. Z 52 kart losujemy 13. Jakie są szanse otrzymania
a) 5 pików, 4 kierów, 3 trefli, 1 kara
b) układu 5 - 3 - 3 - 2
c) układu 4 - 4 - 4 - 1?

==========================================================
1. rozpisałem sobie tak. Czy dobrze?
\(\displaystyle{ A}\) = wyrzucenie reszki 3 razy na 6 rzutów
\(\displaystyle{ {\Omega}}\) = liczba możliwych kombinacji orzeł-reszka, które mogą powstać w wyniku 6 rzutów

\(\displaystyle{ \left| {\Omega}\right|}\) = \(\displaystyle{ 2^{6}= 64}\)


\(\displaystyle{ \left| A\right| = {6 \choose 3} = 20}\)

zatem\(\displaystyle{ P(A) = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}}\)

==========================================================
2 tak.
\(\displaystyle{ A}\) = trafienie szóstki
\(\displaystyle{ {\Omega}}\) = liczba kombinacji 6 cyfr z 49-elementowego zbioru

czyli...

\(\displaystyle{ \left| {\Omega}\right|}\) = \(\displaystyle{ {49 \choose 6}}\)

\(\displaystyle{ \left| A\right|}\) = \(\displaystyle{ {6 \choose 6}}\)

(pomijam liczenie)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{ {6 \choose 6} }{ {49 \choose 6} }}\)

=================================================
3. tutaj mam problem.

Zbiór to elementy \(\displaystyle{ {1, 2, 3, 4, ...., 99}}\)

Liczb podzielnych przez 2 w takim zbiorze jest 49
Liczb podzielnych przez 3 jest 33

Próbowałem wyjść z założenia, że np.

\(\displaystyle{ A}\) = wylosowanie liczby podzielnej przez 2
\(\displaystyle{ \left| A\right| = {49 \choose 1} = 49}\)

Analogicznie z \(\displaystyle{ B}\) = wylosowanie liczby podzielnej przez 3
\(\displaystyle{ \left| B\right| = {33 \choose 1} = 49}\)

Pomyślałem więc, że jeśli \(\displaystyle{ C}\) = wylosowanie liczby podzielnej przez 2 lub przez 3
\(\displaystyle{ \left| C\right| = {49 \choose 1} + {33 \choose 1} = 82}\) (bo rzucamy tylko 1 raz, więc chyba nic nie wymnażamy?)

a \(\displaystyle{ P(C) = \frac{82}{99}}\). Dopiero po chwili zauważyłem, że jeśli podejdę do drugiej części zadania i będę szukał szansy wylosowania liczby podzielnej przez 2 lub przez 3 lub przez 5, to według powyższego rozumowania dostałbym prawdopodobieństwo większe od jedynki...

===========================================
4.

\(\displaystyle{ \left| {\Omega}\right|}\) = \(\displaystyle{ 6^{3}}\) = liczba możliwych kombinacji rzutów po 3 rzutach kostką

\(\displaystyle{ \left| A \right| = 6 \cdot 5 \cdot 4= 120}\) bo najpierw mamy 6 kombinacji w pierwszym rzucie, potem 5, a w ostatnim już 4...

czyli \(\displaystyle{ P(A) = \frac{120}{192} = \frac{5}{8}}\)

===========================================
5.

\(\displaystyle{ \left| {\Omega}\right| = {52 \choose 13}}\) - liczba możliwych kombinacji 13 kart z talii

i przechodząc może do sedna

losowanie \(\displaystyle{ x}\) kart z jednego koloru to nic innego jak \(\displaystyle{ {13 \choose x}}\). A jeśli ma być układ kart, to po prostu wymnażam takie kombinacje przez siebie, dobrze rozumiem?
Czyli w podpunkcie wypadku a) byłoby

\(\displaystyle{ {13 \choose 5} \cdot {13 \choose 4} \cdot {13 \choose 3} \cdot {13 \choose 1}}\)

i to co wyjdzie dzielę potem przez omegę.



====================

Zadanie, którego nie potrafię ugryźć

12. Przy rzucie trzema kostkami sumę 11 i 12 można osiągnąć na tyle samo, bo na 6 sposobów. Dlaczego jednak częściej wypada suma 11 oczek?

[mat_61]

1)
Wynik wprawdzie dobry, ale mam wątpliwości co do Twojego zrozumienia tego sposobu rozwiązania. Rozwiąż takie zadanie to wtedy wszystko będzie jasne:

Rzucamy 6 razy kostką. Jakie są szanse, że wyrzucimy dokładnie 3 razy liczbę oczek równą 4?

2)
Dobrze

3)
Źle.

Zauważ, że takie liczby jak 6, 12 itd. są podzielne zarówno przez 2 jak i przez 3. Żeby obliczyć ile jest liczb podzielnych przez 2 lub przez 3 musisz skorzystać z zależności:

\(\displaystyle{ |A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|}\)

Poczytaj o zasadzie włączeń i wyłączeń:


4)
Połowa dobrze ponieważ:

\(\displaystyle{ 6^3 \neq 192}\)

5)
a) Tak.
b) c) Rozwiązanie nie będzie analogiczne. Zauważ, że tutaj kolejne liczby układu nie oznaczają wybranych kolorów. Np. układ 4-4-4-1 oznacza, że z jednego koloru (dowolnego) mamy jedną kartę a z pozostałych po cztery.

6)

Przy rzucie trzema kostkami sumę 11 i 12 można osiągnąć na tyle samo, bo na 6 sposobów

To, ściśle mówiąc, nie jest prawda.

Poczytaj sobie tutaj dlaczego tak jest: https://www.matematyka.pl/224654.htm#p833433.