wartość oczekiwana zmiennej losowej min(X,Y)

[timeaftertime]

Zakładamy w zadaniu, że X, Y są zmiennymi losowymi dyskretnymi o wartościach całkowitych. NAleży wykazać, że\(\displaystyle{ E(min(X,Y))= \sum_{k=0}^{ \infty } P(X \ge k) P(Y \ge k)}\).

Napiszę jaki mam pomysł: wiemy, że jest wzór dla zmiennej losowej dyskretnej o wartosciach calkowitych :\(\displaystyle{ EX= \sum_{k=0}^{ \infty }P(X \ge k)}\)
czyli możemy z niego skorzystać: \(\displaystyle{ E(min(X,Y))= \sum_{k=0}^{ \infty } P(min(X,Y) \ge k)=...}\)
nie wiem co wykonac dalej? trzeba pewnie coś zauważyć aby dostac \(\displaystyle{ ...= \sum_{k=0}^{ \infty } P(X \ge k)P(Y \ge k)}\)

Bardzo prosze o wasze podpowiedzi.