Liczby losowo ustawione w ciąg

[Christiano Ronaldo]

Liczy 1, 2, 3, 4, 5, 6 ustawiamy losowo w ciąg.
Zdarzenie A - suma trzech początkowych wyrazów otrzymanego ciągu jest mniejsza od sumy trzech pozostałych
Zdarzenie B - suma trzech początkowych wyrazów otrzymanego ciągu jest większa od sumy trzech pozostałych.

Udowodnij, że \(\displaystyle{ P(A) = P(B) = \frac{1}{2}}\)

No więc robię tak:
Dla zdarzenia A wypisuję wszystkie możliwości dla pierwszych 3 liczb w ciągu:
\(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 3\right\}; \left\{ 1, 2, 4\right\}; \left\{ 1, 2, 5\right\}; \left\{ 1, 2, 6\right\}; \left\{ 2, 3, 4\right\}; \left\{ 2, 3, 5\right\}; \left\{ 1, 3, 4\right\}; \left\{ 1, 3, 5\right\}; \left\{ 1, 3, 6\right\}; \left\{ 1, 4, 5\right\};}\)

Jak widać możliwości jest 10. Trzeba teraz dodać kolejność (permutacje) i jedziemy:

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = 6!\\
\left| A \right| = 10 \cdot 3! \cdot 3!\\
P(A) = \frac{1}{2}}\)

Itd. Czy da się prościej? Jakoś od razu to zauważyć bez wypisywania możliwych wyników?

[pyzol]

Ze względu na symetrię (nie ma znaczenia, czy mówimy o 3 pierwszych, czy też 3 ostatnich):
\(\displaystyle{ P(A)=P(B)}\)
Niech \(\displaystyle{ C}\), będzie zdarzeniem, gdy suma pierwszych 3 jest równa sumie trzech pozostałych.
Wszystkie zdarzenia są rozłączne, więc:
\(\displaystyle{ P(A)+P(B)+P(C)=1}\), natomiast \(\displaystyle{ P(C)=0}\), nie ma takiej możliwości, żeby te sumy były, równe, gdyż w jednej sumie będziemy mieć liczbę parzystą a w drugiej nieparzystą.