Rzuty kostką do gry

[MichTrz]

Rzucamy jedną kostkę do gry. Jeśli wypadnie \(\displaystyle{ 6}\) wygrywamy, jeśli wypadnie \(\displaystyle{ 4}\) przegrywamy. Jeśli wypadnie inna liczba oczek, powiedzmy \(\displaystyle{ j}\), wtedy gramy dalej. Gdy wyrzuconą liczbą oczek w kolejnym rzucie jest \(\displaystyle{ j}\), to wygrywamy. W przypadku wyrzucenia \(\displaystyle{ 6}\) przegrywamy, a przy innych liczbach oczek powtarzamy rzut czekając na \(\displaystyle{ j}\) lub \(\displaystyle{ 6}\), kończąc wygraną lub przegraną odpowiednio. Ile wynosi prawdopodobieństwo wygranej?

[octahedron]

Szansa, że wygramy w pierwszym rzucie: \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)
Szansa, że wygramy w drugim rzucie: \(\displaystyle{ \frac{4}{6}\cdot\frac{1}{6}}\)
Szansa, że wygramy w trzecim rzucie: \(\displaystyle{ \frac{4}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{1}{6}}\) itd.
Łącznie mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{6}+\frac{4}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{1}{6}+...=\frac{1}{6}\left[1+\frac{4}{6}+\left( \frac{4}{6}\right)^2+\left( \frac{4}{6}\right)^3+... \right]=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{4}{6}}=\frac{1}{2}}\)

Można też dojść do tego bez liczenia - w każdym rzucie szanse na wygraną i przegraną są takie same.