Wartość oczekiwana stosunków odcinków

[Hadar]

Mam problem z takim zadaniem, które w treści jest banalne, ale nie mam pojęcia jak do niego podejść... Z góry dziękuję za pomoc!

Na odcinku \(\displaystyle{ \left( 0; 1\right)}\) losujemy punkt zgodnie z rozkładem jednostajnym. W ten sposób odcinek zostaje podzielony na dwa pododcinki (prawie na pewno dłuższy i krótszy). Ile wynosi wartość oczekiwana stosunku długości odcinka krótszego do długości odcinka dłuższego?

[Yaco_89]

Niech X będzie wylosowanym punktem czyli zmienną losową z rozkładu jednostajnego. Chcesz tak naprawdę policzyć
\(\displaystyle{ E( \frac{min(X,1-X)}{max(X,1-X)}}\)
a to się sprowadza do policzenia całki z powyższej funkcji po odcinku (0,1), funkcja nie wygląda fajnie ale jak ją rozpiszesz na przypadki to się okazuje że zadanie nie jest trudne

[Hadar]

Czyli to jest takie banalne:

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1, x \in (0; 1) \\ 0, x \in (-\infty; 0\rangle \cup\langle1; \infty) \end{cases} \\ \mathbb{E}\left( \frac{\min(X,1-X)}{\max(X,1-X)} \right) = \begin{cases} \mathbb{E}\left( \frac{X}{1-X} \right), X \in (0; \frac{1}{2} ) \\ \mathbb{E}\left( \frac{1-X}{X} \right), X \in \langle\frac{1}{2}; 1) \end{cases} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{xf(x)}{1 - xf(x)} \mbox{d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1 - xf(x)}{xf(x)} \mbox{d}x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{1 - x} \mbox{d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1 - x}{x} \mbox{d}x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x - 1}{1 - x} \mbox{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1 - x} \mbox{d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{x} \mbox{d}x - \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{x}{x} \mbox{d}x = -\int_{0}^{\frac{1}{2}}\mbox{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1 - x} \mbox{d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{x} \mbox{d}x - \int_{\frac{1}{2}}^{1} \mbox{d}x = - \left[ x \right]_{0}^{\frac{1}{2}} + \left[ -\ln|1 - x| \right]_{0}^{\frac{1}{2}} + \left[ \ln|x| \right]_{\frac{1}{2}}^{1} - \left[ x \right]_{\frac{1}{2}}^{1} = - \left( \frac{1}{2} - 0\right) - \left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) -\ln(1)\right) + \left(\ln(1) - \ln\left(\frac{1}{2}\right)\right) - \left(1 - \frac{1}{2}}\right) = - \frac{1}{2} - \ln\left(\frac{1}{2}\right) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} = -2\ln\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = \ln(4) -1}\)


??

[Yaco_89]

Nie sprawdzałem wszystkich obliczeń ale całkę na początku rozpisałeś dobrze, jeśli się nie machnąłeś w kolejnych linijkach w jej liczeniu to jest ok