Rozkład jednostajny

[Lolek271]

Zmienna losowa ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [-4,4]}\).
a)Wyznczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y=X ^{2}+1}\)
b)Czy rozkład Y ma gęstość? Jeśli tak, wyznaczyć ją.
c)Obliczyć wariację zmiennej 2Y-2.

a)\(\displaystyle{ F(Y \le t)=P(X ^{2}+1 \le t)=P(- \sqrt{t-1} \le X \le \sqrt{t-1})=2F( \sqrt{t-1})-1}\)

I tutaj mam problem, jak wyznaczyć przedziały oraz dystrybuantę. Proszę o pomoc.

[Yaco_89]

X jest zawsze z przedziału [-4,4] więc Y również może przyjmować wartości tylko z pewnego przedziału, nie jest trudno sprawdzić że jest to [1,17] ale upewnij się że wiesz skąd to się bierze (np. narysuj sobie parabolkę \(\displaystyle{ y=x^2+1}\) dla x od -4 do 4...). Dlatego dystrybuanta będzie równa 0 dla t<1 i równa 1 dla t>17, natomiast dla \(\displaystyle{ t\in[1,17]}\) możemy ją wyznaczyć wprost ze wzoru który juz wypisałeś, dystrubuantę rozkładu jednostajnego nie jest trudno wyznaczyć, więc \(\displaystyle{ F(\sqrt{t-1}}\)
też możemy policzyć. Jeżeli otrzymana dystrybuanta będzie ciągła to istnieje gęstość i obliczymy ją jako pochodną z dystrybuanty. A jak masz gęstość to wariancja już powinna być prosta pozdrawiam