Jak to obliczono P(X1<X2)?

[ldurniat]

Zadanie jak powyzej ma nastepujace rozwiazanie:

\(\displaystyle{ P(X_{1}<X_{2})= \int_{0}^{ \infty } P(X_{1}<X_{2} | X_{1}=x)f(x)dx}\), gdzie \(\displaystyle{ f}\) to gestosc rozklady wykladniczego oraz \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}}\) - Exp(\(\displaystyle{ \lambda}\))

Nie wiem czemu rozwiazanie ma taka postac. Czy ktos moze wyprowadzic lub uzasadnic takie rozumowanie?

[Yaco_89]

To się opiera na fakcie, że prawdopodobieństwo zdarzenia możemy zapisać jako wartość oczekiwaną jego indykatora:
\(\displaystyle{ P(X_1<X_2)=E(\mathbb{I}_{ \left\{ X_1<X_2\right\}})=E(E(\mathbb{I}_{ \left\{ X_1<X_2\right\}}|X_1))}\)
(z własności warunkowej wartości oczekiwanej).
Dalej mamy
\(\displaystyle{ E(E(\mathbb{I}_{ \left\{ X_1<X_2\right\}}|X_1=x))= \int_{\Omega}E(\mathbb{I}_{ \left\{ X_1<X_2\right\}}|X_1=x) d\mathbb{P}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Omega}\) jest przestrzenią probabilistyczną a \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\) odpowiednią miarą. Pozostaje już w zasadzie tylko przejście z całki Lebesgue'a po \(\displaystyle{ \Omega}\) na odpowiednią całkę po \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (zauważmy, że \(\displaystyle{ d\mathbb{P}=f(x)dx}\)):
\(\displaystyle{ \int_{\Omega}E(\mathbb{I}_{ \left\{ X_1<X_2\right\}}|X_1=x) d\mathbb{P} =
\int_{\Omega}P(X_1<X_2|X_1=x) d\mathbb{P} = \int_{\mathbb{R}}P(X_1<X_2|X_1=x)f(x)dx}\)
no i \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) można zastąpić przez \(\displaystyle{ (0,\infty)}\) bo dla liczb ujemnych gęstość f(x) znika. Jestem na tyle zmęczony dzisiaj że mogłem opuścić parę technicznych szczegółów, ale ogólny zarys jest na pewno poprawny.

[ldurniat]

Jezeli dobrze zauwazylem, to z twoich zapiskow wynika rownosc:

\(\displaystyle{ E(E(\mathbb{I}_{\{X_{1}<X_{2}\}}|X)) = E(E(\mathbb{I}_{\{X_{1}<X_{2}\}}|X=x))}\)

Jezeli jest prawdziwa, to dlaczego?

[Yaco_89]

po lewej stronie masz tak naprawdę wartość oczekiwaną nowej zmiennej losowej \(\displaystyle{ h(X)}\), gdzie h jest pewną funkcją mierzalną (wiemy, że WWO ma taką postać z lematu Dooba-Dynkina). Jak sobie to rozpiszemy jako całkę po przestrzeni probabilistycznej i przejdziemy na całkę po \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (zamieniając zmienne) to dostaniemy całkę z \(\displaystyle{ h(x)\cdot}\)gęstość zmiennej X, a h(x) jest z definicji równe WWO pod warunkiem X=x.
sorry jeśli trochę trochę w pogmatwany sposób tłumaczę, może coś jednak rozjaśniłem