Prosta całka stochastyczna

[acmilan]

\(\displaystyle{ W_{t}}\) - proces Wienera

Jak obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{t} W_{s} ds}\)?

[wdsk90]

Policz

\(\displaystyle{ \int_{0}^{t}sdW_s}\)

za pomocą wzoru Itō.

Aha, no a co Ty masz policzyć to nie jest całka stochastyczna tylko całka Riemanna-Stieltjesa.

[acmilan]

Wzór Ito:

\(\displaystyle{ f(W_{t})=f(0)+ \int_{0}^{t} f'(W_{s})dW_{s}+\frac{1}{2} \int_{0}^{t} f''(W_{s})ds}\)

I co teraz, wziąć \(\displaystyle{ f(W_{s})=sW_{s}}\)? Byłoby wtedy \(\displaystyle{ f'(W_{s})=s}\), \(\displaystyle{ f''(W_{s})=0}\), czyli:

\(\displaystyle{ tW_{t}=\int_{0}^{t} sdW_{s}}\)

Jest dobrze?

Czemu to nie jest całka stochastyczna? Myślałem, że całka stochastyczna to po prostu całka zawierająca jakiś proces stochastyczny?

I jak teraz policzyć tą wyjściową całkę?

[wdsk90]

Łatwiej: . ... ItoFormula (przeczytaj: 2. The formula). Proces Wienera jest tutaj oznaczany przez \(\displaystyle{ B_t}\) (ruch Browna). Zastosuj wzór dla funkcji \(\displaystyle{ g(t,x)=tx}\).
Całka stochastyczna to całka względem procesu stochastycznego.

[acmilan]

\(\displaystyle{ d(tW_{t})=W_{t}dt+tdW_{t}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} d(sW_{s})= \int_{0}^{t} W_{s}ds+ \int_{0}^{t} sdW_{s}}\)
\(\displaystyle{ tW_{t}= \int_{0}^{t} W_{s}ds+ \int_{0}^{t} sdW_{s}}\)

Czyli co, zero???

[wdsk90]

Jakie zero? Gdzie Ty tu widzisz zero?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} W_{s} ds=tW_{t}-\int_{0}^{t} sdW_{s}}\)

i koniec zadania.