Wektor losowy, obliczenie stałej

[estradowiec]

Witam,
mam takie zadanko:
Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o gęstości:
\(\displaystyle{ f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} c(x^2+y) dla 0 \le y \le 1-x^2 \\ 0 dla reszty \end{cases}}\)
Oblicz stałą c.

Myślałem żeby rozwiazać to w ten sposób aby wyznaczyć granice całkowania i może by wyszło, ale nie wiem czy dobrze to robię bo dziwne wyniki wychodzą:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1-x^2} \int_{0 }^{\sqrt{1-y}}c(x^2+y)dxdy}\)
Wydaje mi się że granice 2 całki są złe, możliwe iż w ogóle sposób jest zły. Byłbym wdzięczny za pomoc.

[wdsk90]

\(\displaystyle{ c\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1-x^2}(x^2+y)dydx}\)

[estradowiec]

Można wiedzieć dlaczego granice całkowania od -1 do 1?

[wdsk90]

Narysuj sobie wykres funkcji \(\displaystyle{ y=1-x^2}\) dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\) i sprawdź jak zmienia się \(\displaystyle{ x}\).

[estradowiec]

Ok, dzięki już rozumiem. Wynik tych całek to \(\displaystyle{ \frac{4}{5}c}\) czyli stała c wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) ??

[wdsk90]

\(\displaystyle{ c}\) musi być takie, żeby wynik był równy \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ c= \frac{5}{4}}\).

[estradowiec]

Do tego zadania jeszcze miałem 2 podpunkty:
-Dla powyższego rozkładu \(\displaystyle{ P\left( 0 \le X \le 1\right)}\) wynosi:(odpowiedzi)
-Dla powyższego rozkładu \(\displaystyle{ P\left( Y=X^2\right)}\) wynosi:(odpowiedzi)

Rozumiem, że mam obliczyć dystrybuantę tego rozkładu. I rozbić polecenie w ten sposób:
\(\displaystyle{ P\left( 0 \le X \le 1\right) = F(1) - (1-F(0)) = F(1) + F(0)-1}\)
z twierdzenia
\(\displaystyle{ P( -\infty,X) = F(X)}\)
\(\displaystyle{ P(X,+ \infty )=1-F(X)}\)
Co do tego drugiego twierdzenia nie jestem pewien.
Natomiast co do drugiego podpunktu to nie mam pojęcia jak ruszyć :/. Prosiłbym o wskazówki.