Dzielenie pączków

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
MichTrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 359
Rejestracja: 30 paź 2010, o 15:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ZG
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Dzielenie pączków

Post autor: MichTrz »

Oblicz prawdopodobieństwo, że dzieląc \(\displaystyle{ 12}\) pączków między \(\displaystyle{ 8}\) osób, każdej damy przynajmniej jednego pączka.
lokas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 462
Rejestracja: 29 sty 2012, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 45 razy

Dzielenie pączków

Post autor: lokas »

Robisz to w prosty sposób, pączki uznajemy za nierozróżnialne więc najpierw dajemy każdemy po jednym pączku, zostaje nam \(\displaystyle{ 4}\), a te rozdajemy na \(\displaystyle{ {4+8-1 \choose 4}}\) sposobów, dalej już dokończysz sam
math questions
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 923
Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: .....
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 171 razy

Dzielenie pączków

Post autor: math questions »

podpowiedź:

\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4}+...+x _{8}=12}\)

moc omegi to liczba rozwiązań równania w liczbach całkowitych nieujemnych

moc zbioru A to liczbę rozwiązań tego samego równania w liczbach całkowitych dodatnich

teraz jest dobrze po interwencji kolegi mat_61
Ostatnio zmieniony 26 lut 2012, o 10:53 przez math questions, łącznie zmieniany 2 razy.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Dzielenie pączków

Post autor: mat_61 »

Akurat jest odwrotnie niż napisałeś.
math questions
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 923
Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: .....
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 171 razy

Dzielenie pączków

Post autor: math questions »

mat_61,

faktycznie już poprawiam
MichTrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 359
Rejestracja: 30 paź 2010, o 15:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ZG
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Dzielenie pączków

Post autor: MichTrz »

Kurcze, jak wy ogarniacie te wszystkie reguły kombinatoryczne?

Przecież tutaj mógłbym równie dobrze rozdać najpierw \(\displaystyle{ 8}\) pączków na \(\displaystyle{ 8!}\) sposobów (no bo biorę pierwszego pączka i mam 8 możliwości, potem biorę drugiego, ale on ma już tylko 7 możliwości itd.) no i pozostałe cztery obojętnie jak czyli \(\displaystyle{ {8 \choose 4}}\).

Oczywiście wasze rozwiązanie jest poprawne. Macie może jakąś ksiażkę/link gdzie są wyjaśnione te reguły kombinatoryczne?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Dzielenie pączków

Post autor: mat_61 »

Ale to rozdawanie na początek ośmiu pączków wg Twojego pomysłu (czyli to \(\displaystyle{ 8!}\)) rozróżnia kolejność przydzielania tych pączków. Natomiast z treści zadania wynika, że liczy się tylko końcowy rezultat czyli to, kto ile będzie miał pączków a nie w jakiej kolejności je dostanie.

Widzisz więc, że te \(\displaystyle{ 8!}\) możliwych sposobów rozdania pierwszych ośmiu pączków prowadzi do takiego samego rezultatu gdzie każda osoba ma jednego pączka.

Pozostają więc 4 pączki, które możemy rozdzielić dowolnie np. wszystkie dla osoby nr 4 i ilość możliwości rozdziału tych 4 pączków obliczysz jako kombinacje z powtórzeniami a nie jak napisałeś kombinacje bez powtórzeń.

Twój zapis \(\displaystyle{ {8 \choose 4}}\) oznacza, że wybierasz 4 osoby z 8 którym dasz po jednym z pozostałych pączków ale tak jak napisałem te cztery pączki możesz rozdzielić dowolnie, niekoniecznie dla czterech różnych osób.
MichTrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 359
Rejestracja: 30 paź 2010, o 15:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ZG
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Dzielenie pączków

Post autor: MichTrz »

Ogólnie wyczytałem, że są cztery podstawowe schematy kombinatoryczne:
wariacje z powtórzeniami, wariacje bez powtórzeń, permutacje i kombinacje (zapewne także z powtórzeniami i bez powtórzeń). Mógłbyś może mi wytłumaczyć którą kiedy stosujemy? Tak fajnie jak w poprzednim temacie, byłbym bardzo wdzięczny. W necie poznajdowałem tylko jakieś suche definicje...
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Dzielenie pączków

Post autor: mat_61 »

Te podstawowe jak nazywasz schematy stosuje się wprost tylko do najprostszych zadań. Jeżeli ważna jest kolejność elementów w zbiorze to będą to wariacje, a jeżeli kolejność nie jest ważna to będą to kombinacje. Natomiast jeżeli elementy mogą się powtarzać to będą to wariacje/kombinacje z powtórzeniami a jeżeli nie mogą się powtarzać to będą to wariacje/kombinacje bez powtórzeń. Permutacje dotyczy tych sytuacji kiedy mamy uporządkować wszystkie elementy jakiegoś zbioru.

Jeżeli chodzi o praktykę, to najważniejszą kwestią jest zrozumienie co chcemy policzyć. Na przykład w tym zadaniu o pączkach jak może wyglądać ich podział między osoby?:

1) jeżeli rezultat rozdawania ma być dowolny (czyli chcesz wyznaczyć moc zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\))to wyobraź sobie, że masz taki zbiór:

\(\displaystyle{ \Omega=\left\{ x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x\right\}}\)

gdzie każdy element \(\displaystyle{ x}\) oznacza dowolną osobę która dostała pączka, czyli może on wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \Omega=\left\{ 1,1,2,3,4,4,4,4,8,8,8,8\right\}}\)

Oznacz to, że osoba 1 dostanie 2 pączki, osoby 2 i 3 po 1 pączku a osoby 4 i 8 po 4 pączki.

Widać, że taki zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) jest dowolną 12-elementową kombinacją z powtórzeniami ze zbioru 8-elementowego.

2) jeżeli rezultat rozdawania ma być taki, że każdy ma dostać co najmniej 1 pączka (czyli chcesz wyznaczyć moc zbioru \(\displaystyle{ A}\)), to zbiór \(\displaystyle{ A}\) musi wyglądać tak:

\(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,x,x,x,x\right\}}\)

Pozostają do uzupełnienia 4 miejsca będące dowolną 4-elementową kombinacją z powtórzeniami ze zbioru 8-elementowego.
math questions
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 923
Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: .....
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 171 razy

Dzielenie pączków

Post autor: math questions »

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=\binom{n+k-1}{n-1}}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=\binom{k-1}{n-1}}\)

k - pączki
n - osoby
ODPOWIEDZ