Pierwsza wylosowana liczba będzie większa od drugiej.

[rutra]

Byłem dziś na konkursie. Sprawdzian z prawdopodobieństwa poszedł mi dosyć dobrze i ogólnie ten dział matematyki nie sprawia mi większego problemu, ale z zadaniem konkursowym sobie nie poradziłem. Macie jakieś pomysły jak to rozwiązać?

Ze zbioru \(\displaystyle{ X = \{1,2,3,...,n\}}\) gdzie \(\displaystyle{ n \ge 3}\) losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej.

[Qń]

Oczywiście takie samo jak prawdopodobieństwo, że będzie mniejsza - czyli oba są równe \(\displaystyle{ \frac 12}\).

Q.

[rutra]

Ok, ale jak to obliczyć? Ja sobie przyjąłem, że wszystkich liczb jest \(\displaystyle{ k}\) i obliczyłem:
\(\displaystyle{ \Omega ={k \choose k-1}}\), ale nie wiedziałem co dalej.

[Qń]

Ok, ale jak to obliczyć?

Ale czego nie zrozumiałeś w moim rozwiązaniu? Przecież została już podana odpowiedź, więc nie trzeba nic więcej liczyć.

Q.

[rutra]

A to chyba, że takie wyjaśnienie wystarczy, bo ja myślałem, że trzeba będzie sobie opisać, że liczba zdarzeń sprzyjających oznaczymy przez A, później moc A obliczymi, a wcześniej moc omegi i obliczymy prawdopodobieństwo.

[lestkievich]

Ja bym rozumował tak:
Jeśli wypadnie 1 to \(\displaystyle{ p=\frac{0}{n-1}=0}\)
Jeśli wypadnie 2 to \(\displaystyle{ p=\frac{1}{n-1}}\)
Jeśli wypadnie 3 to \(\displaystyle{ p=\frac{2}{n-1}}\)
Jeśli wypadnie 4 to \(\displaystyle{ p=\frac{3}{n-1}}\)
itd
Jeśli wypadnie n to \(\displaystyle{ p=\frac{n-1}{n-1}=1}\)

drzewem
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{n}\cdot \frac{0}{n-1} +\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n-1}...+\frac{1}{n}\cdot \frac{n-1}{n-1}=
\frac{1}{n} \left( \frac{0}{n-1} + \frac{1}{n-1}+\frac{2}{n-1}+...+\frac{n-1}{n-1}\right)=
\frac{1}{n(n-1)}\left(0+1+2+3+...+n-1\right)\\
=\frac{1}{n(n-1)}\cdot \frac{0+n-1}{2}\cdot n
=\frac{1}{n(n-1)}\cdot \frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}}\)