Mamy 5 identycznych urn, w pierwszej urnie znajdują się 4 czarne kule, 0 białych, w drugiej 3 czarne, 1 biała, w trzeciej 2 czarne 2 białe, w czwartej 1 czarna 3 białe, w piątej 0 czarnych 4 białe.
Losujemy urnę, następnie ciągniemy z niej jedną kulę i okazuje się, że otrzymana kula jest biała. Oblicz prawdopodobieństwo, że ciągnąc drugą kulę z tej samej urny (bez zwracania) również otrzymamy kulę białą.
Odp: 2/3 - jak do niej dojśc?
Pzdr
Urny - prawdopodobieństwo z egzaminu aktuarialnego
-
lokas
- Użytkownik
- Posty: 462
- Rejestracja: 29 sty 2012, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 45 razy
Urny - prawdopodobieństwo z egzaminu aktuarialnego
\(\displaystyle{ A}\)- 2-ga kula jest biała
\(\displaystyle{ B _{i}}\)- ciągneliśmy z urny i-tego typu
\(\displaystyle{ P(B _{i})= \frac{1}{3}}\) (Zauważamy, że dwie pierwsze urny nie spełniają warunków zadania, ponieważ jest w nich odpowiednio zero i jedna kula biała, także odrzucamy je na samym początku)
\(\displaystyle{ P(A)= \sum_{i=1}^{3} P(A\left| B _{i})*P(B _{i})= \frac{1}{3}* \frac{1}{3}+ \frac{1}{3} * \frac{2}{3}+ \frac{1}{3} *1= \frac{1}{9}+ \frac{2}{9}+ \frac{3}{9}= \frac{6}{9}= \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ B _{i}}\)- ciągneliśmy z urny i-tego typu
\(\displaystyle{ P(B _{i})= \frac{1}{3}}\) (Zauważamy, że dwie pierwsze urny nie spełniają warunków zadania, ponieważ jest w nich odpowiednio zero i jedna kula biała, także odrzucamy je na samym początku)
\(\displaystyle{ P(A)= \sum_{i=1}^{3} P(A\left| B _{i})*P(B _{i})= \frac{1}{3}* \frac{1}{3}+ \frac{1}{3} * \frac{2}{3}+ \frac{1}{3} *1= \frac{1}{9}+ \frac{2}{9}+ \frac{3}{9}= \frac{6}{9}= \frac{2}{3}}\)
-
gblablabla
- Użytkownik
- Posty: 420
- Rejestracja: 6 lis 2010, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Clausthal-Zellerfeld
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 25 razy
Urny - prawdopodobieństwo z egzaminu aktuarialnego
Dlaczego druga nie spełnia? Przecież też można z niej wylosować jedną białą kulę.
-
gblablabla
- Użytkownik
- Posty: 420
- Rejestracja: 6 lis 2010, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Clausthal-Zellerfeld
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 25 razy
Urny - prawdopodobieństwo z egzaminu aktuarialnego
Najpierw rysujesz wierzchołek oraz wyrastające z niego pierwsze gałęzie drzewa pt. "jakie jest prawdopodobieństwo, że mamy do czynienia z urną o danym numerze":
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1.&0\\2.& \frac{1}{10} \\3.& \frac{2}{10} \\4.& \frac{3}{10} \\5.& \frac{4}{10} \end{array}\right]}\)
Następnie dla każdego z wierzchołków z urn dorysowujesz jak prawdopodobne jest wylosowanie białej kuli przy kolejnym losowaniu z danej urny, a jakie czarnej (dla każdej gałęzi dwie kolejne):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1.&0&B: 0&CZ: 1\\2.&\frac{1}{10} &B: 0&CZ: 1\\3.& \frac{2}{10} &B: \frac{1}{3} &CZ: \frac{2}{3} \\4.& \frac{3}{10}&B: \frac{2}{3} &CZ: \frac{1}{3} \\5.& \frac{4}{10} &B: 1 &CZ: 0 \end{array}\right]}\)
Zakreślasz interesujące Cię gałązki, mnożysz i sumujesz.
Otrzymujesz (\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie opisane w zadaniu):
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{10} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{10} + 1 \cdot \frac{4}{10} = \frac{8}{30} + \frac{12}{30} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1.&0\\2.& \frac{1}{10} \\3.& \frac{2}{10} \\4.& \frac{3}{10} \\5.& \frac{4}{10} \end{array}\right]}\)
Następnie dla każdego z wierzchołków z urn dorysowujesz jak prawdopodobne jest wylosowanie białej kuli przy kolejnym losowaniu z danej urny, a jakie czarnej (dla każdej gałęzi dwie kolejne):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1.&0&B: 0&CZ: 1\\2.&\frac{1}{10} &B: 0&CZ: 1\\3.& \frac{2}{10} &B: \frac{1}{3} &CZ: \frac{2}{3} \\4.& \frac{3}{10}&B: \frac{2}{3} &CZ: \frac{1}{3} \\5.& \frac{4}{10} &B: 1 &CZ: 0 \end{array}\right]}\)
Zakreślasz interesujące Cię gałązki, mnożysz i sumujesz.
Otrzymujesz (\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie opisane w zadaniu):
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{10} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{10} + 1 \cdot \frac{4}{10} = \frac{8}{30} + \frac{12}{30} = \frac{2}{3}}\)