Dwuwymiarowa zmienna losowa

[Lolek271]

Zmienne losowe X, Y są niezależne, przy czym X ma rozkład wykładniczy z
parametrem 2, a Y ma rozkład \(\displaystyle{ g _{Y}(y)=4ye ^{-2y}*1 _{[0, infty)} (y)}\) Podać gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y).

Proszę o wskazówkę.

-- 20 lutego 2012, 21:46 --

Dobra, chyba zrozumiałem - skoro są niezależne, to ich iloczyn wyznacza zmienną dwuwymiarową. Zatem \(\displaystyle{ g (X,Y)=4ye ^{-2y}*1 _{[0, infty)} (y)*2e ^{-2x}*1 _{[0,infty)}(x)}\)

Nie jestem pewien tylko, czy przy X wyznaczyłem dobrze dziedzinę.

Drugi podpunkt: policzyć \(\displaystyle{ EX ^{2}Y}\), może tutaj ktoś naprowadzi?

[pyzol]

Jeśli są niezależne, to \(\displaystyle{ \mathcal{E}(XY)=\mathcal{E}(X)\mathcal{E}(Y)}\)

[Lolek271]

To już udało mi się ustalić, jak policzyć \(\displaystyle{ EX ^{2}Y}\)

[pyzol]

Czyli jak policzyć \(\displaystyle{ \mathcal{E}\left(X^2 \right)}\), czy \(\displaystyle{ \mathcal{E}(Y)}\)

[Lolek271]

Czyli \(\displaystyle{ EX ^{2}= \int_{0}^{\infty}x ^{2} *2e ^{-2x}dx}\)
\(\displaystyle{ EY= \int_{0}^{\infty}y*4y ^{-2y}dy}\)

Czyli \(\displaystyle{ EX ^{2}Y=iloczyn powyższych?}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ \mathcal{E}(Y)=\int yg(y)dy}\)
Także Ci brakuje y. A nie po prostu zgubiłeś "e".
Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ \mathcal{E}X^2}\)
można to zrobić tak:
\(\displaystyle{ =Var(X)+(\mathcal{E}X)^2}\)
A te rzeczy możesz zobaczyć w tablicach, dla rozkładu wykładniczego. Całkowanie to też dobre ćwiczenie.

[Lolek271]

Ok. Ale jeżeli nie mogę korzystać z tablic, to mój wzór jest poprawny?

W ogóle dzięki za udział w temacie!

[pyzol]

Tak, wsio jest oki, prócz tego, że zgubiłeś te nieszczęsne "e".