Gęstość warunkowa

[Lolek271]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ (X; Y )}\) ma rozkład jednostajny na trójk¡cie o wierzchołkach
\(\displaystyle{ (1,-1), (1,1), (-1,-1)}\), tzn. rozkład z gęstością \(\displaystyle{ g(x,y) = \frac{1}{2} \cdot 1 _{ {-1 \le y \le x \le 1} }}\)
Wyznaczyć gęstość warunkową \(\displaystyle{ g _{X|Y}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ E(2XY -3Y|Y ).}\)

[bogusia2012]

Stosujesz wzór: gx|y = g(x,y)/gy(y)
przy czym gy(y) = ∫g(x,y) dx

E(2XY -Y|Y) = 2Y*E(X|Y) - E(Y|Y)

gdzie:
E(X|Y=y) = ∫x gx|y(x|y) dx
E(Y|Y) = Y

[Lolek271]

Dobra, próbuję zrobić, jak pokazano wyżej proszę o sprawdzenie:

\(\displaystyle{ g(x,y)= \frac{1}{2}*1 _{(-1,1)}(x)1 _{(0,x)}(y)}\)
\(\displaystyle{ g _{Y}(y)= \frac{1}{2}*1 _{(0,x)}(y) \int_{-1}^{1}dx=x*1 _{(0,x)} (y)}\)
\(\displaystyle{ g _{X|Y}= \frac{1}{2x}*1 _{(-1,1)}(x)}\)
\(\displaystyle{ E(X|Y)= \frac{1}{2}* \int_{-1}^{1}dx=x}\)
\(\displaystyle{ E(2XY -Y|Y) = 2Y*E(X|Y) - E(Y|Y)=2xy-y}\)

[bogusia2012]

według mnie źle rozbiłeś indykator w gęstości g(x,y)
moim zdaniem:
g(x,y) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)1\(\displaystyle{ _{(y,1)}}\) (x) 1\(\displaystyle{ _{(-1,x)}}\) (y)

[Lolek271]

a dlaczego tak? Mnie uczono, że y uzależnia się od x.