W jaki sposób wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa P zmiennej losowej X?Dysponujemy czterema jednakowymi komputerami pracującymi niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia roboczego komputer ulegnie awarii jest równe 0,2. Niech X oznacza zmienną losową, która jest liczbą komputerów ulegających awarii w ciągu dnia roboczego, jeżeli awarię usuwa się dopiero następnego dnia.
Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa P zmiennej losowej X oraz jej dystrybuantę F i sporządzić wykresy tych funkcji. Korzystając z definicji oraz z odpowiednich twierdzeń obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia robocze ulegną awarii:
a) co najwyżej 2 komputery,
b) dokładnie 3 komputery
c) więcej niż 2 komputery.
Znaleźć najbardziej prawdopodobną wartość zmiennej losowej X, korzystając z definicji i twierdzenia, a następnie podać jej interpretację.
Funkcja prawdopodobieństwa
-
szewciu
Funkcja prawdopodobieństwa
Treść zadania:
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Funkcja prawdopodobieństwa
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) może przyjmować wartości równe \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\), czyli liczbie komputerów, które ulegną awarii tego dnia roboczego. Należy zatem obliczyć
\(\displaystyle{ P(X=0)=p_0}\),..., \(\displaystyle{ P(X=4)=p_4}\)
i te wyniki przedstawić przy pomocy tabelki
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
x_i&0&1&2&3&4\\ \hline
p_i&p_0&p_1&p_2&p_3&p_4\\ \hline\end{array}}\)
No dla przykładu obliczamy prawdopodobieństwo, że liczba awarii będzie wynosić zero, czyli
\(\displaystyle{ p_0={4\choose0}(0,8)^4=\frac{4096}{10000}}\)
Podobnie, dla liczby awarii równej jeden
\(\displaystyle{ p_1={4\choose1}(0,2)^1\cdot(0,8)^3=\frac{4096}{10000}}\)
itd.
\(\displaystyle{ p_2={4\choose2}(0,2)^2\cdot(0,8)^2=\frac{1536}{10000}}\)
\(\displaystyle{ p_3={4\choose3}(0,2)^3\cdot(0,8)^1=\frac{256}{10000}}\)
\(\displaystyle{ p_4={4\choose4}(0,2)^4=\frac{16}{10000}}\)
czyli funkcja prawdopodobieństwa dana jest tabelką
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
x_i&0&1&2&3&4\\ \hline
p_i&0,4096&0,4096&0,1536&0,0256&0,0016\\ \hline\end{array}}\)
\(\displaystyle{ P(X=0)=p_0}\),..., \(\displaystyle{ P(X=4)=p_4}\)
i te wyniki przedstawić przy pomocy tabelki
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
x_i&0&1&2&3&4\\ \hline
p_i&p_0&p_1&p_2&p_3&p_4\\ \hline\end{array}}\)
No dla przykładu obliczamy prawdopodobieństwo, że liczba awarii będzie wynosić zero, czyli
\(\displaystyle{ p_0={4\choose0}(0,8)^4=\frac{4096}{10000}}\)
Podobnie, dla liczby awarii równej jeden
\(\displaystyle{ p_1={4\choose1}(0,2)^1\cdot(0,8)^3=\frac{4096}{10000}}\)
itd.
\(\displaystyle{ p_2={4\choose2}(0,2)^2\cdot(0,8)^2=\frac{1536}{10000}}\)
\(\displaystyle{ p_3={4\choose3}(0,2)^3\cdot(0,8)^1=\frac{256}{10000}}\)
\(\displaystyle{ p_4={4\choose4}(0,2)^4=\frac{16}{10000}}\)
czyli funkcja prawdopodobieństwa dana jest tabelką
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
x_i&0&1&2&3&4\\ \hline
p_i&0,4096&0,4096&0,1536&0,0256&0,0016\\ \hline\end{array}}\)