proste i punkty
proste i punkty
Na płaszczyźnie dane są dwie proste równoległe, niepokrywające się. Na jednej z nich zaznaczono 6 punktów, a na drugiej \(\displaystyle{ n}\) - punktów, gdzie \(\displaystyle{ n \ge 4}\). Oblicz \(\displaystyle{ n}\), jeśli prawdopodobieństwo tego, że trzy losowo wybrane punkty sposród zaznaczonych są wierzchołkami trójkąta, jest równe \(\displaystyle{ \frac{9}{14}}\)
Ostatnio zmieniony 17 lut 2012, o 20:01 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat nie musi zawierać nazwy działu. Nie używaj Caps Locka. Poprawa wiadomości.
Powód: Temat nie musi zawierać nazwy działu. Nie używaj Caps Locka. Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
proste i punkty
Wszystkich punktów jest \(\displaystyle{ n+6}\), zatem wszystkich możliwych wyborów trzech punktów będzie
\(\displaystyle{ C^3_{n+6}=\frac{(n+4)(n+5)(n+6)}{6}}\).
Wygodniej będzie obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, tzn. te trzy punkty nie będą tworzyć trójkąta, czyli muszą leżeć na jednej prostej, możemy to osiągnąć na
\(\displaystyle{ C^3_6+C^3_n=\frac{6\cdot5\cdot4}{6}+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=\frac{120+n^3-3n^2+2n}{6}}\)
sposobów.
I teraz z warunków zadania
\(\displaystyle{ \frac{\frac{120+n^3-3n^2+2n}{6}}{\frac{(n+4)(n+5)(n+6)}{6}}=1-\frac{9}{14}}\)
No i teraz mnożysz na krzyż, porządkujesz i rozwiązujesz równanie (niestety wyjdzie chyba trzeci stopień).
PS. Sprawdź tez moje rachunki bo liczyłem w pamięci.
\(\displaystyle{ C^3_{n+6}=\frac{(n+4)(n+5)(n+6)}{6}}\).
Wygodniej będzie obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, tzn. te trzy punkty nie będą tworzyć trójkąta, czyli muszą leżeć na jednej prostej, możemy to osiągnąć na
\(\displaystyle{ C^3_6+C^3_n=\frac{6\cdot5\cdot4}{6}+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=\frac{120+n^3-3n^2+2n}{6}}\)
sposobów.
I teraz z warunków zadania
\(\displaystyle{ \frac{\frac{120+n^3-3n^2+2n}{6}}{\frac{(n+4)(n+5)(n+6)}{6}}=1-\frac{9}{14}}\)
No i teraz mnożysz na krzyż, porządkujesz i rozwiązujesz równanie (niestety wyjdzie chyba trzeci stopień).
PS. Sprawdź tez moje rachunki bo liczyłem w pamięci.