zmienna losowa x podlega rozkładowi

[matiss]

Witam,
mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze to policzyłem? Dzięki

treść:
zmienna losowa x podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0 dla x<0 \\ cx dla 0 \le x \le 4 \\ 0 dla x > 4 \end{cases}}\)
a) wyznacz stałą c
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{+\infty}f(x)dx = c \int_{0}^{4}xdx=\left| \frac{cx ^{2} }{2} \right| {4 \choose 0}=8c-0=8c \Rightarrow 8c=1 \Rightarrow c= \frac{1}{8}}\)

b) zapisz dystrybuantę
dla x<0
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{0} \frac{1}{8} xdx = 0}\)
dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le 4}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{4} \frac{1}{8} xdx = \left| \frac{1}{8} * \frac{x ^{2} }{2}\right| {x \choose 0}= \frac{x ^{2} }{16}}\)
dla x>4
\(\displaystyle{ \int_{0}^{4} \frac{1}{8}xdx = \left| \frac{x ^{2} }{16} \right| {4 \choose 0}=1}\)

c) oblicz \(\displaystyle{ P(1 \le x \le 2)}\)
\(\displaystyle{ \int_{2}^{1} \frac{1}{8} xdx = \left[ \frac{x ^{2} }{16} \right] {2 \choose 1} = \frac{4}{16}- \frac{1}{16} = \frac{3}{16}}\)

d) znajdź wartość oczekiwaną i wariancję X
e) wyznacz medianę tej zmiennej

podpunktu d i e nie umiem, gdyby mógł ktoś pomóc.

[lokas]

Nie licz dystrybuanty z x tylko np. z t, bo masz dwie takie same zmienne

w d) liczysz ze wzoru \(\displaystyle{ EX= \int_{- \infty }^{ \infty } xf(x)dx}\)
w e) \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ Me } f(x)dx= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ Me}\) to mediana

Zayważ że dla x<0 f(x)=0 a nie jak napisałeś \(\displaystyle{ \frac{1}{8} x}\)

[matiss]

ok to zamiast x podstawie t, a wyniki ok?

d) hm dalej nie rozumiem, możesz podać jakiś przykład, no i to jest tylko wartość oczekiwana, czy też wariancja?
e) skąd się wzięła 1/2?

Przecież dla x<0 jest 0, nie rozumiem.

[lokas]

jak liczysz dystrybuante to wpisałeś w pierwszej całce \(\displaystyle{ \frac{1}{8} x}\) a powinno być 0

wariancja to \(\displaystyle{ D ^{2} (X)=EX ^{2} - (EX) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ EX ^{2}= \int_{- \infty }^{ \infty } x ^{2} f(x)dx}\)

e) taki jest wzór na mode, przecałkuj i wyjdzie

[matiss]

Ok, czyli jeśli dobrze rozumiem
d) wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ EX= \int_{- \infty }^{ \infty }x*f(x)dx= \int_{0}^{4}cx ^{2}dx= \frac{cx ^{3} }{3} {4 \choose 0} = \frac{64c}{3}}\)

Wariancja:
\(\displaystyle{ EX ^{2} = \int_{- \infty }^{ \infty }x ^{2} *f(x)dx= \int_{0}^{4}cx ^{3}dx= \frac{cx ^{4} }{4} {4 \choose 0} = 64c}\)
\(\displaystyle{ D ^{2}X=64c- \frac{64c}{3} = \frac{192c}{3}- \frac{64c}{3}= \frac{128c}{3}}\)

e) Natomiast z medianą dalej mam mały problem, tzn nie jestem pewny czy dobrze kombinuje
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ Me }f(x)dx= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ Me } \frac{x}{8} dx= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{16} {Me \choose - \infty } = \frac{1}{2}}\)
I tu pytanie rozumiem ze -oo moge potraktować jako 0?
\(\displaystyle{ \frac{Me ^{2} }{16} = \frac{1}{2} /*16}\)
\(\displaystyle{ Me ^{2} = 8}\)
\(\displaystyle{ Me = 2\sqrt{2}}\)