f. gęstości

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
adeda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 23 sty 2012, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: fggg
Podziękował: 1 raz

f. gęstości

Post autor: adeda »

zmienna losowa X ma gęstość postaci
\(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} 0,15(x+2)\ \ \ \text{dla}\ -2<x \le 0 \\ 1,05 (1-x)^{2}\ \ \ \text{dla}\ 0<x \le 1\\ 0\ \ \ \ \ \ \text{poza} \end{cases}}\)
wyznaczyc dystrb i policzyc \(\displaystyle{ P(-1<x<0,5)}\)

jestem strasznie słaby w całkach, proszę żeby ktoś sprawdził poprawność obliczeń
\(\displaystyle{ \int_{-2}^{x}0,15(x+2) = 0,075x ^{2} + 2x + 1,7}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}1,05(1-x) ^{2}=- \frac{1}{3}x ^{3}+1,05x}\)
\(\displaystyle{ F(0,5)-F(-1)= \frac{17}{30} + \frac{9}{40} = 0,5667}\)
Ostatnio zmieniony 12 lut 2012, o 23:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

f. gęstości

Post autor: scyth »

1. W całkach brakuje \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\).
2. Masz \(\displaystyle{ x}\) zarówno w granicy całkowania, jak i w funkcji, którą całkujesz - to jest błąd, musisz na to zwracać uwagę.
Tak to powinno być rozwiązane:
\(\displaystyle{ 1. \ x \in (-2,0\rangle \\
\int_{-2}^x 0,15(t+2) \mbox{d}t =
\left[ 0,15 \left( \frac{t^2}{2} + 2t \right) \right]_{-2}^x =
0,15 \left( \frac{x^2}{2}+2x\right) - 0,15 \left( \frac{4}{2}-4 \right) =\\=
0,075 x^2 + 0,3 x + 0,3 \\
2. \ x \in (0,1\rangle \\
\left(0,075\cdot 0^2+0,3 \cdot 0 + 0,3 \right) + \int_{0}^x 1,05(1-t)^2 \mbox{d}t =
0,3 + \int_0^x 1,05 (t^2-2t+1) \mbox{d} t=\\=
0,3 \left[ 1,05 \left( \frac{t^3}{3} - \frac{2t^2}{2}+t \right) \right]_{0}^x =
0,315 \left( \frac{x^3}{3}-x^2+x\right) - 0,315 ( 0-0+0) =
0,105x^3-0,315x^2 + 0,315 x }\)

I tutaj pojawia się pierwsza wątpliwość - dystrybuanta powinna nam się kończyć na \(\displaystyle{ 1}\), tymczasem tutaj mamy:
\(\displaystyle{ 0,105 \cdot 1^3 - 0,315 \cdot 1^2 + 0,315 \cdot 1 = 0,105}\)
I mamy dobrze - to funkcja \(\displaystyle{ g}\) nie jest gęstością, ponieważ:
\(\displaystyle{ \int_{-2}^0 0,15(x+2) \mbox{d}x + \int_0^1 1,05 (1-x)^{2} \mbox{d}x \ne 1}\) (można to było sprawdzić od razu, ale raczej nie spodziewałem się, że podana funkcja będzie zła).
ODPOWIEDZ