- \(\displaystyle{ Var(min(X,Y))...min(VarX, VarY)}\)
- \(\displaystyle{ E(min(X,Y))...min(EX, EY)}\)
Mam pomysł, ale chciałbym, żeby ktoś go zweryfikował.
Rozumiem, że \(\displaystyle{ min(X,Y)}\) to nowa zmienna losowa, która dla każdego zdarzenia elementarnego \(\displaystyle{ \omega}\) przyjmuje wartość równą minimum z \(\displaystyle{ X(\omega)}\) i \(\displaystyle{ Y(\omega)}\).
Wobec tego załóżmy, że \(\displaystyle{ \Omega = \left\{ \omega_1, \omega_2 \right\}}\) oraz \(\displaystyle{ P(\omega_1) = P(\omega_2) = \frac{1}{2}}\).
Wtedy mam takie kontrprzykłady dla równości:
1.
\(\displaystyle{ X(\omega_1) = 0}\)
\(\displaystyle{ X(\omega_2) = 300}\)
\(\displaystyle{ Y(\omega_1) = 401}\)
\(\displaystyle{ Y(\omega_2) = 402}\)
\(\displaystyle{ Var(min(X,Y)) = VarX = 150^{2}}\)
\(\displaystyle{ min(VarX,VarY)) = VarY = 0.5^{2}}\)
i mamy: \(\displaystyle{ Var(min(X,Y)) \geq min(VarX, VarY)}\), ponieważ równość zachodzi dla \(\displaystyle{ X = Y}\), a z konstrukcji przykładu wynika, że nierówności w drugą stronę nie da się otrzymać.
2.
Podobnie:
\(\displaystyle{ X(\omega_1) = 1}\)
\(\displaystyle{ X(\omega_2) = 0}\)
\(\displaystyle{ Y(\omega_1) = 0}\)
\(\displaystyle{ Y(\omega_2) = 1}\)
\(\displaystyle{ E(min(X,Y)) = 0}\)
\(\displaystyle{ min(EX,EY)) = \frac{1}{2}}\)
i mamy: \(\displaystyle{ E(min(X,Y)) \leq min(EX, EY)}\), ponieważ równość zachodzi dla \(\displaystyle{ X = Y}\), a z konstrukcji przykładu wynika, że nierówności w drugą stronę nie da się otrzymać.
Czy dobrze to rozumiem?