Wartość oczekiwana standardowego rozkładu normalnego

[karolo15]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma standardowy rozkład normalny. Obliczyć \(\displaystyle{ Ee ^{2x}}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ Ee ^{2x}= \int_{R}^{}e ^{2x} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi }}e ^{ \frac{ -x^{2} }{2} }= \int_{R}^{} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } }e ^{ \frac{ -(x-2)^{2}+4 }{2}} = e^{2} \int_{R}^{} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } }e ^{ \frac{-(x-2) ^{2} }{2} } = e^{2}*1=e^{2}}\)

Czy to jest dobrze?

[szw1710]

Swietnie. Tylko na egzaminie powinieneś umotywować czemu ta ostatnia całka wynosi 1. Ja wiem czemu, to nie dla mnie, ale by egzaminator wiedział, że wiesz

Czekaj, coś jeszcze z odchyleniem standardowym nie tak. Ostatnia całko może nie być 1. Zanalizuj rozkład \(\displaystyle{ N(m,\sigma)}\) z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ m}\) (tu dwójka, OK) i odchyleniem standardowym \(\displaystyle{ \sigma.}\) Napisz dokładnie jego funkcję gęstości.

OK. Mamy tu \(\displaystyle{ \sigma=1.}\) Ale zrób to, o co prosiłem linię wyżej.

[lokas]

Co znaczy \(\displaystyle{ Ee ^{2x}}\) ? Nie powinno być \(\displaystyle{ Ee ^{2X}}\)?

[szw1710]

Tak, powinno.

[karolo15]

to wystarczy napisać, że to w całce to rozkład normalny (2,1)?

[szw1710]

Dokładnie o to chodzi. Dobrze rozwiązałeś. Na moment mnie ta \(\displaystyle{ \sigma}\) zatrwożyła.

[karolo15]

dzięki za pomoc!