wartosc oczekiwana

[karolo15]

Jak obliczyć \(\displaystyle{ EX ^{2}}\) dla \(\displaystyle{ X}\) mającego rozkład Poissona z parametrem 3?

[Nakahed90]

Albo ze wzoru \(\displaystyle{ VarX=EX^2-(EX)^2}\), albo wprost z definicji, bo znasz funkcję rozkładu prawdopodobieństwa.

[karolo15]

wprost z definicji dostaje szereg, którego nie potrafię zsumować, próbowałem wykorzystać też to:

dla \(\displaystyle{ X > 0}\)
\(\displaystyle{ EX = \sum_{ k=1 }^{\infty}(X \ge k)}\)
i zrobić podstawienie: \(\displaystyle{ Y= X^{2}}\)
Można z tego korzystać w tym przypadku?

Bo jeśli robię wprost z definicji to zatrzymuje się w momencie:
\(\displaystyle{ EX^{2}= \sum_{k=0}^{ \infty }k ^{2}* \frac{ 3^{k} }{k!}* e^{-3}}\)

I zupełnie nie wiem jak dalej sobie z tym poradzić.
Bo gdyby skorzystać z wzoru na wariancję to trzeba by było obliczyć wariancję wtedy też trzeba mieć to \(\displaystyle{ EX ^{2}}\) żeby ją obliczyć chyba, prawda?

[Nakahed90]

Zauważ, że \(\displaystyle{ EX^2= \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \cdot \frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}= e^{-\lambda}\cdot \lambda \cdot \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} =e^{-\lambda} \cdot\lambda \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \frac{d}{d \lambda}(\frac{\lambda^k}{(k-1)!})}\)

[karolo15]

co to znaczy \(\displaystyle{ \frac{d}{d}}\)

[Nakahed90]

co to znaczy \(\displaystyle{ \frac{d}{d}}\)

Pomyłiłem się w formule i nie wyświetalało się \(\displaystyle{ \lambda}\), ale teraz już jest ok.

[karolo15]

dzieki!

[lokas]

Może dodam jeszcze, że można to zarobić na podstawie funkcji generującej momenty, różniczkujemy ją dwa razy i podstawiamy t=0 i mamy wynik