wyznaczenie rozkładu zmiennej

[karolo15]

Zmienna losowa X ma rozkład z gęstością \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{2}x * 1_{[0,2]}(x)}\) Wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y=min\left\{X-1,0 \right\}}\)?

No i chciałem to policzyć z dystrybuanty i zacząłem od tego:
\(\displaystyle{ F_{y}(t)=P(Y \le t)=P(min\left\{X-1,0 \right\} \le t)}\)

I nie wiem jak dalej rozpisać tą funkcję minimum, wydawało mi się żeby rozpisać dwa warunki:
1. gdy \(\displaystyle{ X-1 \ge 0}\) wtedy \(\displaystyle{ P(0 \le t)}\) <= nie wiem jak to rozwiązać bo z tego by wynikało że dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) to się równa 1 a w p.p. 0

2.gdy \(\displaystyle{ X-1<0}\) wtedy \(\displaystyle{ P=(X-1 \le t)}\)

Kto mi podpowie co dalej?

[octahedron]

Co oznacza ten zapis: \(\displaystyle{ 1_{[0,2]}(x)}\) ?

[karolo15]

funkcja, która wyrzuca 1 na danym przedziale i zero poza tym przedziałem

[octahedron]

To chyba będzie tak:
\(\displaystyle{ F_X(x)=\int_{-\infty}^xg(x)\,dx=\begin{cases}0,\ x<0\\\frac{1}{4}x^2,\ 0\le x<2\\1,\ 2\le x\end{cases}\\
\begin{cases}P(Y<-1)=0\\
P(-1\le Y<\gamma<0)=P(0\le X<\gamma+1<1)\\
P(Y=0)=P(X\ge 1)\\
P(0<Y)=0\end{cases}\\
F_Y(x)=\begin{cases}0,\ x<-1\\\frac{1}{4}(x+1)^2,\ -1\le x<0\\1,\ 0\le x\end{cases}}\)

[karolo15]

cholera nic z tego nie rozumiem, gdzie tu jest rozpisana ta funkcja minimum na 2 warunki?

[octahedron]

\(\displaystyle{ min\left\{ X-1,0\right\}= \begin{cases}X-1,\ X<1\\0,\ X\ge 1\end{cases}}\)
No i tu już nic więcej się nie da rozpisać.

[karolo15]

co to jest gamma w tym co rozpisales?

[octahedron]

To pewna liczba. Poprawiłem, bo jedynka uciekła.