Prawdopodobieństwo czasu trwania rozmowy

[karolo15]

Każdego dnia do ustalonej osoby dzwoni albo jej kolega (z prawdopodobieństwem 1/3),
albo jej koleżanka (z prawdopodobieństwem 2/3). Czas trwania rozmowy kolegi (liczony w
minutach) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [1;5]; w przypadku
gdy dzwoni koleżanka, jest to zmienna o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1/5. Niech X
oznacza długość rozmowy, która się odbyła ustalonego dnia.
Załóżmy, że X > 4 (tzn. rozmowa trwała dłużej niż 4 minuty). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dzwoniła koleżanka?
Moje rozwiązanie:
A-"dzwoniła koleżanka"

\(\displaystyle{ P(A|X>4)= \frac{P(A \cap X>4) )}{P(X>4)}= \frac{ \int_{ 4 }^{\infty} \frac{1}{5} e^{ \frac{-x}{5}} 1_{[0, \infty )}(x)dx }{ \frac{2}{3}* \int_{4}^{ \infty }\frac{1}{5} e^{ \frac{-x}{5}} 1_{[0, \infty ) } (x) dx + \frac{1}{3}* \int_{4}^{ \infty } \frac{1}{4}* 1_{[1,5]}(x)dx }}\)

Wydaje mi się, że wszystko jej poprawnei bo kilka razy sprawdzałem, jednak wynik jest większy niż 1, co jest źle? W mianowniku skorzystałem z prawdopodobieństwa całkowitego.-- 9 lutego 2012, 18:06 --czy ktoś wie czy to jest dobrze zapisane?

[lokas]

Nie wiem czy to zapis po przekształceniach, ale nie można liczyć \(\displaystyle{ P(X>4)}\), trzeba wziąć \(\displaystyle{ P(X>4)=1-P(X \le 4)}\)