Nierownosc Czebyszewa

[miszczyk]

Witam, przeszukalem juz polowe google i dalej nie moge znalezc konkretnej pomocy w tym zadaniu, wiec licze na was.

Niech zmienna Losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozklad dwumianowy i parametrami \(\displaystyle{ n = 240 , p= \frac{1}{2}}\). Oczacuj prawdopodobienstwo \(\displaystyle{ P(X \le 80)}\)(za pomoca nierownosci Czebyszewa).

Otoz , policzylem wartosc \(\displaystyle{ EX}\) ze wzoru \(\displaystyle{ EX = n \cdot p = \frac{1}{2} \cdot 240 = 120}\)
oraz wariancje:
\(\displaystyle{ Var[x] = n \cdot p \cdot q = 120 \cdot \frac{1}{2} = 60}\) gdzie \(\displaystyle{ p+q=1 \Rightarrow q=1-p}\)
Teraz nie za bardzo wiem jak mam wykorzystac w tym wypadku wzor Czebyszewa, bo mam \(\displaystyle{ P(X \le 80)}\), a wzor wyglada inaczej.

PS. By nie smiecic, takie zadanko : Mamy urne z 3 bialymi i 1 czarna kula. Losujemy bez zwracania 3 kule i niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) oznacza ile wsrod wylosowanych kul jest kul bialych. Podaj gestosc rozkladu zmiennej \(\displaystyle{ X}\) oraz jej wartosc oczekiwana.

Wiem jak policzyc EX, mam pytanie tylko czy ta tabelka jako calosc jest gestoscia rozkladu, czy trzeba to jakos inaczej policzyc?

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|}
\hline
X & 2 & 3 \\ \hline
P(x=X) & 3/4 & 1/4 \\ \hline
\end{tabular}}\)

Z gory ogromne dzieki za odpowiedzi!

[pyzol]

\(\displaystyle{ npq=120\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}\)
Ale na samą nierówność nie mam dzisiaj głowy.
Tabelka wystarczy tylko raczej powinieneś \(\displaystyle{ X}\) z \(\displaystyle{ x}\) zamienić, ale to drobny szczegół.

[miszczyk]

Dzieki, dzieki , jak bedziesz mial checi to rozwal mi tego Czebyszewa bo w sumie na tym mi najbardziej zalezy ;]

[pyzol]

Tutaj wypadałoby, zauważyć dodatkowo, że:
\(\displaystyle{ P (X\le 80)=P(X \ge 160) \le \frac{120}{160}}\)
Oszacowanie słabe, ale dla wariancji jest o wiele lepsze:
\(\displaystyle{ 2P(X \le 80)=P(|X-\mathcal{E}X| \ge 40) \le \frac{30}{40^2}\\
P(X \le 80) \le \frac{15}{1600}}\)

[miszczyk]

Dzieki, ale mam 2 pytanka:
Dlaczego jest 2P przy drugim rownaniu?
Wiem, ze pierwszy wzor jest ze wzoru Czebyszewa, a drugi Czebyszewa-Bienayme. Pytanie, czy powinienem stosowac oba, czy wystarczy tylko ten drugi, bo jest bardziej precyzyjny?

[pyzol]

Ja bym ten drugi. Dlaczego razy dwa, bo:
\(\displaystyle{ P(|X-120| \ge 40)=P(X \le 80 \vee X \ge 160)=P(X \le 80)+P(X \ge 160)}\)

[miszczyk]

Dzieki!