Znaleźć dystrybuantę mając gęstość rozkładu zmiennej losowej

[tometomek91]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) podlega rozkładowi o następującej gęstości
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} cx\ \ \text{dla}\ x \in [2,5] \\ 0\ \ \ \text{dla}\ x \not\in [2,5] \end{cases}}\)
Wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ c}\), znaleźć dystrybuantę i obliczyć \(\displaystyle{ P(1,5 \le X \le 3,5)}\).

[Kamil_B]

Gęstość, jak to gęstość, jest dodatnia (czyli \(\displaystyle{ c>0}\)) i spełnia \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \mbox{d}x =\int_{2}^{5}f(x) \mbox{d}x =1}\). Stąd dostaniesz stałą \(\displaystyle{ c}\).
Ponadto szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \mathbb{P}(1,5 \le X \le 3,5)=\int_{1.5}^{3.5}f(x) \mbox{d}x=...}\)