Znaleźć prawdopodobieństwo mając daną dystrybuantę.

[tometomek91]

Niech
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 1-e^{-x^2}\ \ \text{dla}\ x \ge 0 \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ x<0 \end{cases}}\)
będzie dystrybuantą zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ P(x>1)}\), \(\displaystyle{ P(1<x \le 2)}\) i \(\displaystyle{ P(X=3)}\).

[Qń]

Od razu można powiedzieć, że \(\displaystyle{ P(X=3)=0}\). Co do reszty - wystarczy skorzystać z definicji dystrybuanty, to znaczy:
\(\displaystyle{ F(x)=P(X\le x)}\)
Stąd na przykład:
\(\displaystyle{ P(X>2012) = 1- P(X\le 2012) = 1 -F(2012)}\)

Q.

[tometomek91]

Dzięki
Mam jeszcze pytania:
Dlaczego prawdopodobieństwo tych zdarzeń elementarnych, dla którch zmienna losowa przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 3}\) jest równe zeru? (może porzeciwobraz 3 jest zbiorem miary zero? jak tak to skąd to wiadomo?)
Czy to możliwe, żeby dystrybuantę zdefiniować jako \(\displaystyle{ F(x)}\)\(\displaystyle{ =P(X<x)}\) tzn. z ostrą nierównością? W jednej książce była właśńie taka definicja, natomiast przykład nie jest z tej samej książki, więc może tam definicja miała nierówność słabą?

[Qń]

Odnośnie definicji dystrybuanty:
- w angielskojęzycznej literaturze zazwyczaj przyjmuje się \(\displaystyle{ F(x)=P(X \le x)}\)
- w rosyjskojęzycznej literaturze zazwyczaj przyjmuje się \(\displaystyle{ F(x)=P(X <x )}\)

W przypadku liczenia prawdopodobieństwa przy rozkładach ciągłych (tak jak w tym zadaniu) jest to wszystko jedno. Zmienia się natomiast sposób liczenia prawdopodobieństwa przy rozkładach dyskretnych. Ponadto przy każdej z dwóch definicji dystrybuanta ma odrobinę inne własności (raz jest lewostronnie ciągła, a raz prawostronnie).

Co do faktu, że w rozkładach ciągłych jest \(\displaystyle{ P(X=a)=0}\), wynika on z grubsza rzecz biorąc z tego, że miara zbioru \(\displaystyle{ \{a\}}\) jest równa zero.

Q.