Funkcja generująca momenty - rozkład dwumianowy

[acmilan]

Mam prośbę o wyprowadzenie wzoru na FGM rozkładu dwumianowego:
\(\displaystyle{ X\sim \mathcal{B}(n,p)}\)

\(\displaystyle{ M_{X}(t)=(1-p+p\cdot e^{t})^{n}}\)

\(\displaystyle{ M_{X}(t)=E(e^{tX})= \sum_{k=0}^{\infty} {n \choose k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \cdot e^{tk}=\sum_{k=0}^{\infty} {n \choose k} \cdot (pe^{t})^{k} \cdot (1-p)^{n-k}=\sum_{k=0}^{\infty} {n \choose k} \cdot (pe^{t})^{k} \cdot (1-pe^{t})^{n-k} \cdot \left( \frac{1-p}{1-pe^{t}}\right) ^{n-k}=...?}\)

Co dalej?

[lokas]

Zaobserwuj, że dana suma począwszy od k=n+1 wynosi zero, więc \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} {n \choose k} \cdot (pe^{t})^{k} \cdot (1-p)^{n-k}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot (pe^{t})^{k} \cdot (1-p)^{n-k}}\)

W tym momencie korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (a+b) ^{n} = \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} a ^{k} +b ^{n-k}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot (pe^{t})^{k} \cdot (1-p)^{n-k}=(pe^{t}+1-p) ^{n}}\)

[acmilan]

W tym wzorze zamiast plus powinno być razy