Witam, mam problem ze zrozumieniem jednego zadania, a mianowicie:
k pasażerów wsiada do pociągu złożonego z 3 wagonów, przy czym każdy wybiera
wagon niezależnie i z jednakowym prawdopodobieństwem 1/3 . Zakładając, że k>=3,
oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A - wszyscy wsiądą do jednego wagonu,
B - dokładnie jeden wagon będzie pusty,
C - żaden wagon nie będzie pusty.
Zdarzenie A ogarniam, ale jakoś nie umiem zrozumieć B i C. Gdzieś na forum znalazłem wytłumaczenie 83821,175.htm tylko nie wiem czemu tam jest różnica prawdopodobieństw. Byłbym wdzięczny gdyby to ktoś w miarę wytłumaczył.
k ludzi wsiada do pociągu
-
math questions
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: .....
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 171 razy
k ludzi wsiada do pociągu
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= 3 ^{k}}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{{3 \choose 1}}{3 ^{k} }}\)
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{{3 \choose 2} \cdot (2 ^{k}-2 )}{3 ^{k}}}\)
\(\displaystyle{ P(C)=1-P(A)-P(B)}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{{3 \choose 1}}{3 ^{k} }}\)
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{{3 \choose 2} \cdot (2 ^{k}-2 )}{3 ^{k}}}\)
\(\displaystyle{ P(C)=1-P(A)-P(B)}\)
k ludzi wsiada do pociągu
Dzięki ale zależało by mi na wyjaśnieniu tego zadania. Odpowiedzi znałem wcześniej
-
math questions
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: .....
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 171 razy
k ludzi wsiada do pociągu
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= 3 ^{k}}\)
mamy \(\displaystyle{ k}\) pasażerów i \(\displaystyle{ 3}\) wagony więc:
pasażer pierwszy może wybrać wagon na 3 sposoby (bo wagonów nie ubywa)
pasażer drugi może wybrać wagon na 3 sposoby
pasażer trzeci może wybrać wagon na 3 sposoby
............................................
............................................
pasażer \(\displaystyle{ k-ty}\) może wybrać wagon na 3 sposoby
więc:
\(\displaystyle{ \overbrace{3\cdot 3\cdot \ldots 3}^{k}=3^{k}}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= {3 \choose 1}=3}\) - wszyscy pasażerowie mogą wybrać jeden wagon na trzy sposoby (oczywiste)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}={3 \choose 2} \cdot (2 ^{k}-2 )}}\)
pasażerowie mogą wybrać dwa wagony na \(\displaystyle{ {3 \choose 2}}\) sposobów
mamy \(\displaystyle{ k}\) pasażerów i \(\displaystyle{ 2}\) wagony (bo jeden ma być pusty) więc:
pasażer pierwszy może wybrać wagon na 2 sposoby
pasażer drugi może wybrać wagon na 2 sposoby
pasażer trzeci może wybrać wagon na 2 sposoby
............................................
............................................
pasażer \(\displaystyle{ k-ty}\) może wybrać wagon na 2 sposoby
więc:
\(\displaystyle{ \overbrace{2\cdot 2\cdot \ldots 2}^{k}=2^{k}}\) ale od tego musimy odjąć 2 możliwości bo w naszych obliczeniach \(\displaystyle{ 2^{k}}\) uwzględniony jest możliwość pustego wagon "pierwszego" lub "drugiego"
\(\displaystyle{ P(C)}\) - prawdopodobieństwo przeciwne, od prawdopodobieństwa całkowitego (czyli 1) musimy wyrzucić prawdopodobieństwo dwóch wagonów pustych P(A) i jednego wagonu pustego P(B)
mamy \(\displaystyle{ k}\) pasażerów i \(\displaystyle{ 3}\) wagony więc:
pasażer pierwszy może wybrać wagon na 3 sposoby (bo wagonów nie ubywa)
pasażer drugi może wybrać wagon na 3 sposoby
pasażer trzeci może wybrać wagon na 3 sposoby
............................................
............................................
pasażer \(\displaystyle{ k-ty}\) może wybrać wagon na 3 sposoby
więc:
\(\displaystyle{ \overbrace{3\cdot 3\cdot \ldots 3}^{k}=3^{k}}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= {3 \choose 1}=3}\) - wszyscy pasażerowie mogą wybrać jeden wagon na trzy sposoby (oczywiste)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}={3 \choose 2} \cdot (2 ^{k}-2 )}}\)
pasażerowie mogą wybrać dwa wagony na \(\displaystyle{ {3 \choose 2}}\) sposobów
mamy \(\displaystyle{ k}\) pasażerów i \(\displaystyle{ 2}\) wagony (bo jeden ma być pusty) więc:
pasażer pierwszy może wybrać wagon na 2 sposoby
pasażer drugi może wybrać wagon na 2 sposoby
pasażer trzeci może wybrać wagon na 2 sposoby
............................................
............................................
pasażer \(\displaystyle{ k-ty}\) może wybrać wagon na 2 sposoby
więc:
\(\displaystyle{ \overbrace{2\cdot 2\cdot \ldots 2}^{k}=2^{k}}\) ale od tego musimy odjąć 2 możliwości bo w naszych obliczeniach \(\displaystyle{ 2^{k}}\) uwzględniony jest możliwość pustego wagon "pierwszego" lub "drugiego"
\(\displaystyle{ P(C)}\) - prawdopodobieństwo przeciwne, od prawdopodobieństwa całkowitego (czyli 1) musimy wyrzucić prawdopodobieństwo dwóch wagonów pustych P(A) i jednego wagonu pustego P(B)