Równomierny rozkład zmiennej losowej

[imieslow1]

Witam, mam problem z takim zadaniem..

Zmienna losowa X ma rozkład równomierny na odcinku (\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2}}\)). Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y=cosX

[fon_nojman]

Proponuje wyznaczyć dystrybuantę

\(\displaystyle{ P(\cos X \le t)=\ldots}\)

czyli rozwiązujesz nierówność trygonometryczną \(\displaystyle{ \cos x \le t, x\in (- \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2}
)}\) właściwie tylko dla \(\displaystyle{ t\in [0,1].}\)

[imieslow1]

Dałby rade ktoś to jakoś rozpisać? Bo nie bardzo to widzę..

[fon_nojman]

Np. dla \(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}}\) co mamy? Rozwiązujemy nierówność \(\displaystyle{ \cos x \le \frac{1}{2}, x\in (- \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} ),}\) najlepiej zrobić sobie rysunek. Na czym się zatrzymujesz?

[imieslow1]

Jak podstawię \(\displaystyle{ t= \frac{1}{2}}\) to będę miał .. \(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{2}, -arccos \frac{1}{2} \right) \cup \left( arccos \frac{1}{2}, \frac{ \pi }{2} \right)}\) tak? o to chodzi?

[fon_nojman]

Tak. Jak domkniemy przy arcusie \(\displaystyle{ x in left( - frac{ pi }{2}, -arccos frac{1}{2}
ight] cup left[ arccos frac{1}{2}, frac{ pi }{2}
ight)}\) to będzie dobrze
Dla reszty \(\displaystyle{ t\in (0,1)}\) widać jakie będzie rozwiązanie.

[imieslow1]

Więc odpowiedzią na pytanie w zadaniu będzie:
X ma rozkład:
\(\displaystyle{ f\left( t\right) = \begin{cases} \left( - \frac{ \pi }{2}, -arccos \frac{1}{2} \right] \cup \left[ arccos \frac{1}{2}, \frac{ \pi }{2} \right) dla t \in(0,1] \\ 0 w przeciwnym przypadku \end{cases}}\)


tak?

[fon_nojman]

Nie. Najpierw napisz rozwiązanie nierówności trygonometrycznej dla reszty \(\displaystyle{ t\in (0,1).}\)