Kowariancja - proces Poissona

[weinwein]

Witam,
Mam problem z obliczeniem kowariancji dla prosesu Poissona, prosiłbym o wskazówki dotyczące obliczenia ów kowariancji.
Niech \(\displaystyle{ N_{t}, N_{s}}\) będą procesami Poissona
Oblicz \(\displaystyle{ Cov(N_{t},N_{s})}\)

Zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ Cov(N_{t},N_{t+s})= E(N_{t}N_{t+s}) - E(N_{t}) E(N_{t+s})}\)

\(\displaystyle{ E(N_{t}) E(N_{t+s}) = \lambda t * \lambda (t+s)}\)
\(\displaystyle{ E(N_{t}N_{t+s} = E(((N_{t+s}-N_{t})+N_{t})N_{t}) = E((N_{t+s}-N_{t})N_{t} + N_{t}^{2}) = E(N_{t+s} - N_{t})E(N_{t}) + E(N_{t}^{2}) = \lambda s \lambda t + 2\lambda^{2} t^{2}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ Cov(N_{t},N_{t+s}) = \lambda s \lambda t + 2\lambda^{2} t^{2} - \lambda t \lambda (t+s)}\)
\(\displaystyle{ Cov(N_{t},N_{t+s})=\lambda^{2}st + 2\lambda^{2} t^{2} - \lambda^{2} t^{2} - \lambda^{2} st = \lambda^{2} t^{2}}\)
Zaś w

Kod: Zaznacz cały

http://www.aiaccess.net/English/Glossaries/GlosMod/e_gm_poisson_process.htm

\(\displaystyle{ Cov(N_{t},N_{t+s})=\lambda t}\)
Znając moje zdolności to pewnie coś źle zrobiłem i byłbym wdzięczny za ewentualną poprawę obliczeń czy też nakierowanie na właściwy tok rozumowania.

Dodatkowo nie jestem pewnien tego przejścia
\(\displaystyle{ E(N_{t}^{2})= 2\lambda^{2} t^{2}}\)

[Nakahed90]

Dodatkowo nie jestem pewnien tego przejścia
\(\displaystyle{ E(N_{t}^{2})= 2\lambda^{2} t^{2}}\)

To jest źle, zauważ, że \(\displaystyle{ N_{t}}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda t}\). Spróbuj jeszcze raz to policzyć, pamiętając, że \(\displaystyle{ Var(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2}}\)

[weinwein]

ok czyli
\(\displaystyle{ E(X^{2})=Var(X) + (EX)^{2}}\)
\(\displaystyle{ E(N_{t}^{2})=Var(N_{t}) + (EN_{t})^{2}}\)
\(\displaystyle{ E(N_{t}^{2}) = \lambda t + (\lambda t)^{2}}\)

Pozostała część dotycząca obliczania kowariancji jest dobrze? (oczywiście po uwzględnieniu tej poprawki)

edit:
przeliczyłem na kartce kowariancej uwzględniając tą poprawkę i wychodzi tak jak w zacytowanym linku
także idzie "pomógł"
Dzięki wielki za pomoc

oczywiście jeżeli są zwarte tam błędy których nie dostrzegłem to będę wdzięczy za zwrócenie uwagi :]