Wiedząc, że \(\displaystyle{ M_{t}}\) jest martyngałem. Udowodnij, że:
a.) \(\displaystyle{ M_{t} ^{2}}\)
b.) \(\displaystyle{ M_{t} ^{4}}\)
c.) \(\displaystyle{ |M_{t}|}\)
jest submartyngałem ?
Najbardziej mi zależy na podpunkcie c. Czy b można rozwiązać tak: - udowadniam podpunkt a i pisze, że kwadrat submartyngału jest submartyngałem ?
martyngał, submartyngał.
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
martyngał, submartyngał.
Ogólniej zachodzi coś takiego: jeśli \(\displaystyle{ M_t}\) jest martyngałem (względem filtracji \(\displaystyle{ F_t}\)), to dla funkcji wypukłej \(\displaystyle{ f}\) mamy, że \(\displaystyle{ f(X_t)}\) jest podmartyngałem.
Wynika to z nierówności Jensena dla warunkowej wartości oczekiwanej.
Jeśli bowiem \(\displaystyle{ s \le t}\) to:
Wynika to z nierówności Jensena dla warunkowej wartości oczekiwanej.
Jeśli bowiem \(\displaystyle{ s \le t}\) to:
\(\displaystyle{ E(f(X_t)|F_s) \ge f(E(X_t|F_s))=f(X_t)}\)