Zmienne losowe - dwa proste dowody

[PL_kolek]

Rozwiązuję zadania i tak natknąłem się na dwa, z którymi coś nie mogę sobie poradzić, a notatek też znaleźć nie mogę.
1. Niech X, Y będą niezależnymi dyskretnymi zmiennymi losowymi przyjmującymi wartości ze zbioru liczb naturalnych. Udowodnić (z definicji), że dla wszystkich \(\displaystyle{ i,j}\) naturalnych:
\(\displaystyle{ P(X=i;Y=j)=P(X=i)P(Y=j)}\)
2. Niech X będzie nieujemną zmienną losową o gęstości f i skończonej wartości oczekiwanej. Wykazać, że:
\(\displaystyle{ E(X)= \int_{0}^{ \infty } P(X>t)dt}\)

[miodzio1988]

1. Jaką zatem znasz definicje niezależności?

[PL_kolek]

Chyba do czegoś doszedłem.
\(\displaystyle{ P(X \le i;Y \le j)=P(X \lei)P(Y \le j)}\)
To definicja dla dwóch zmiennych. Podejrzewam, że trzeba skorzystać, z faktu, że dla zmiennych przyjmujących wartości naturalne, mamy:
\(\displaystyle{ P(X=i)=P(X \le i)-P(X \le i-1)}\).
Rozpisując prawą stronę:
\(\displaystyle{ P(X=i)P(Y=j)=(P(X \le i)-P(X \le i-1))(P(Y \le j)-P(Y \le j-1)=P(X \le i)P(Y \le j)-P(X \le i-1)P(Y \le j)-P(X \le i)P(Y \le j-1)+P(X \le i-1)P(Y \le j-1)}\)
Teraz z niezależności X i Y:
\(\displaystyle{ C.d.=P(X \le i;Y \le j)-P(X \le i-1;Y \le j)-P(X \le i;Y \le j-1)+P(X \le i-1;Y \le j-1)}\)
I teraz krok logiczny, ale jak go uzasadnić formalnie?
\(\displaystyle{ C.d.=P(X=i;Y \le j)-P(X=i;Y \le j-1)=P(X=i;Y=j)}\)

Teraz jakieś pytanie nakierowujące w drugim, to może też mnie olśni