Jezeli jest ktos kto umie rozwiazac ponizsze zadanie bardzo proszę i pomoc.
W urnie znajduje się 8 kul białych i dwie niebieskie. Dochodzący do gry płaci organizatorowi 1 zl i losuje jednocześnie dwie kule. Jeżeli obie są niebieskie , to dostaje nagrode 10zl , jeżeli jest niebieska dostaje z powrotem 1zl. Wyznacz zakres 3 sigma dla zysku organizatora po 900 powtorzeniach gry. Z jakiego twierdzenia tu korzystamy?
trudność z prawdopodonbienstwem
-
agnes892010
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 28 sty 2012, o 15:15
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kielce
-
acmilan
- Użytkownik
- Posty: 402
- Rejestracja: 27 kwie 2009, o 15:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa-Praga
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 50 razy
trudność z prawdopodonbienstwem
Będziemy korzystać z twierdzenia o niezależnych zmiennych losowych.
\(\displaystyle{ X}\)-zmienna losowa oznaczająca zysk organizatora z jednej gry
Szukamy jej rozkładu.
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{{8 \choose 2}}{{10 \choose 2}}=\frac{28}{45}}\)
\(\displaystyle{ P(X=-1)=\frac{{2 \choose 1} \cdot {8 \choose 1}}{{10 \choose 2}}=\frac{16}{45}}\)
\(\displaystyle{ P(X=-10)=\frac{{2 \choose 2}}{{10 \choose 2}}=\frac{1}{45}}\)
Liczymy wartość oczekiwaną i wariancję \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ E(X)=\frac{28}{45}\cdot 1+\frac{16}{45}\cdot (-1)+\frac{1}{45}\cdot (-10)=\frac{2}{45}}\)
\(\displaystyle{ Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}}\)
\(\displaystyle{ E(X^{2})=\frac{28}{45}\cdot 1^{2}+\frac{16}{45}\cdot (-1)^{2}+\frac{1}{45}\cdot (-10)^{2}=\frac{144}{45}}\)
\(\displaystyle{ Var(X)=\frac{144}{45}-\frac{4}{45^{2}}=\frac{6476}{45^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{X}=\frac{2\sqrt{1621}}{45}}\)
Niech \(\displaystyle{ Z}\) oznacza zysk organizatora po \(\displaystyle{ 900}\) grach, czyli \(\displaystyle{ Z=\sum_{i=1}^{900} X_{i}}\)
\(\displaystyle{ E(Z)=900\cdot E(X)=90}\) (wartości oczekiwane zawsze się dodają)
\(\displaystyle{ Var(Z)=900\cdot Var(X)=\frac{25904}{9}}\) (dla niezależnych zmiennych losowych, wariancje też się dodają)
\(\displaystyle{ \sigma_{Z} \approx 53.65}\)
Zatem zakres 3 sigma to:
\(\displaystyle{ (E(Z)-3\sigma_{Z};E(Z)+3\sigma_{Z})=\underline {(-70.95;250.95)}}\)
\(\displaystyle{ X}\)-zmienna losowa oznaczająca zysk organizatora z jednej gry
Szukamy jej rozkładu.
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{{8 \choose 2}}{{10 \choose 2}}=\frac{28}{45}}\)
\(\displaystyle{ P(X=-1)=\frac{{2 \choose 1} \cdot {8 \choose 1}}{{10 \choose 2}}=\frac{16}{45}}\)
\(\displaystyle{ P(X=-10)=\frac{{2 \choose 2}}{{10 \choose 2}}=\frac{1}{45}}\)
Liczymy wartość oczekiwaną i wariancję \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ E(X)=\frac{28}{45}\cdot 1+\frac{16}{45}\cdot (-1)+\frac{1}{45}\cdot (-10)=\frac{2}{45}}\)
\(\displaystyle{ Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}}\)
\(\displaystyle{ E(X^{2})=\frac{28}{45}\cdot 1^{2}+\frac{16}{45}\cdot (-1)^{2}+\frac{1}{45}\cdot (-10)^{2}=\frac{144}{45}}\)
\(\displaystyle{ Var(X)=\frac{144}{45}-\frac{4}{45^{2}}=\frac{6476}{45^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{X}=\frac{2\sqrt{1621}}{45}}\)
Niech \(\displaystyle{ Z}\) oznacza zysk organizatora po \(\displaystyle{ 900}\) grach, czyli \(\displaystyle{ Z=\sum_{i=1}^{900} X_{i}}\)
\(\displaystyle{ E(Z)=900\cdot E(X)=90}\) (wartości oczekiwane zawsze się dodają)
\(\displaystyle{ Var(Z)=900\cdot Var(X)=\frac{25904}{9}}\) (dla niezależnych zmiennych losowych, wariancje też się dodają)
\(\displaystyle{ \sigma_{Z} \approx 53.65}\)
Zatem zakres 3 sigma to:
\(\displaystyle{ (E(Z)-3\sigma_{Z};E(Z)+3\sigma_{Z})=\underline {(-70.95;250.95)}}\)