Witam, mam problem z pewnym zadaniem , nie jestem do konca pewna rozwiazania.
Przemek i Gosia grają w następującą grę. Wykonuja rzuty monetą. Gdy w dwóch kolejnych rzutach pojawią się orły gra zostaje zakonczona i wygrywa Przemek. Gdy w dwóch kolejnych rzutach pojawią sie reszki gra zostaje zakończona i wygrywa Gosia. Oblicz wartość oczekiwana czasu trwania gry(mierzona liczba rzutów)
Zrobiłam to tak: \(\displaystyle{ 2 \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n}{ 2^{n} }=2}\)
Rzuty monetą
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Rzuty monetą
Gra będzie trwała \(\displaystyle{ n}\) tur jeżeli
będzie sekwencja,która nie daje dwóch tych samych stron pod rząd czyli będą naprzemiennie i będzie skończy się przewagą dwóch punktów(korzystna strona-punkt).
Aby gra trwała dokładnie \(\displaystyle{ n}\) tur pierwsza tura może rozstrzygnąć się dowolnie,ale
każda następna aż do\(\displaystyle{ n-1}\)-wszej musi musi dawać wynik przeciwny niż poprzednia.Czyli w wypadku monety pradopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i tak \(\displaystyle{ n-2}\) razy,a za ostatnim razem musi wypaść to co poprzednio. W wypadku monety symetrycznej\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
czyli szansa,że tura potrwa n wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n-1}}}\)czyli masz prawie dobrze,bo(to samo co ty otrzymałaś po włączeniu 2 w sumę...)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{2^{n}}= \sum_{n=1}^{ \infty } \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^{n}}}\) iloczyn przez liczbę naturalną n jak pamiętamy z drugiej podstawówki jest też sumą n tych samych czynników.
Grupując odowiednio składniki tych sumując w każdej z grup mamy,że wartość oczekiwana wynosi
\(\displaystyle{ 1+ \sum_{n=1}^{ \infty }1- \frac{1}{2^{n}}}\)Zauważmy,że ten szereg jest rozbieżny,bo nie spełnia warunku koniecznego...
będzie sekwencja,która nie daje dwóch tych samych stron pod rząd czyli będą naprzemiennie i będzie skończy się przewagą dwóch punktów(korzystna strona-punkt).
Aby gra trwała dokładnie \(\displaystyle{ n}\) tur pierwsza tura może rozstrzygnąć się dowolnie,ale
każda następna aż do\(\displaystyle{ n-1}\)-wszej musi musi dawać wynik przeciwny niż poprzednia.Czyli w wypadku monety pradopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i tak \(\displaystyle{ n-2}\) razy,a za ostatnim razem musi wypaść to co poprzednio. W wypadku monety symetrycznej\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
czyli szansa,że tura potrwa n wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n-1}}}\)czyli masz prawie dobrze,bo(to samo co ty otrzymałaś po włączeniu 2 w sumę...)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{2^{n}}= \sum_{n=1}^{ \infty } \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^{n}}}\) iloczyn przez liczbę naturalną n jak pamiętamy z drugiej podstawówki jest też sumą n tych samych czynników.
Grupując odowiednio składniki tych sumując w każdej z grup mamy,że wartość oczekiwana wynosi
\(\displaystyle{ 1+ \sum_{n=1}^{ \infty }1- \frac{1}{2^{n}}}\)Zauważmy,że ten szereg jest rozbieżny,bo nie spełnia warunku koniecznego...