Zmienna losowa ma dystrybuante...

[Kanodelo]

Zmienna losowa ma dystrybuante \(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \ dla \ x\le -1 \\ 1-\frac{x^2}{2} \ dla \ -1<x\le 0 \\ 1 \ dla \ x>0 \end{cases}}\)

Oblicz
\(\displaystyle{ P(-1<X<-0,5) \\ P(-1\le X<-0,5) \\ P(-1<X\le -0,5)}\)

Chodzi mi o to, kiedy stosujemy \(\displaystyle{ F(-1^+)}\) a kiedy \(\displaystyle{ F(-1)}\), czy to zależy do tego czy przedział jest domknięty czy otwarty?

[szw1710]

Wiesz, to zależy jak się dystrybuantę definiuje. Są dwa równoprawne sposoby:

1. \(\displaystyle{ F(x)=P(X\le x),}\)
2. \(\displaystyle{ F(x)=P(X<x).}\)

Którym się posługujesz?

Równoprawne nie znaczy równoważne, nie opisuje się tej samej funkcji. Jeden podręcznik bierze nierówność ostrą, drugi słabą. Dla zmiennych ciągłych to jest to samo. Dla dyskretnych nie.

[Kanodelo]

Na ćwiczeniach mieliśmy tą drugą definicję

[szw1710]

OK. Wtedy mamy \(\displaystyle{ P(a\le X<b)=F(b)-F(a)}\), co załatwia drugi przypadek.

Pierwszy: \(\displaystyle{ P(a<x<b)=P(a\le X<b)-P(X=a)=F(b)-F(a)-P(X=a)}\).

Ile to jest \(\displaystyle{ P(X=a)}\)? Dystrybuanta jest lewostronnie ciągła. Wtedy mamy \(\displaystyle{ P(X=a)=F(a^+)-F(a^-)=F(a^+)-F(a)}\). A zatem

\(\displaystyle{ P(a<X<b)=F(b)-F(a)-F(a^+)+F(a)=F(b)-F(a^+).}\)

Mam trzeci przypadek też rozpisać czy sobie poradzisz? Wychodzi \(\displaystyle{ P(a<X\le b)=F(b^+)-F(a^+).}\)

Dla kompletu \(\displaystyle{ P(a\le X\le b)=F(b^+)-F(a).}\)

[Kanodelo]

W takim razie \(\displaystyle{ P(a<X\le b)}\) to by wyszło
\(\displaystyle{ P(a<X\le b)=P(a\le X<b)-P(X=a)+P(X=b)=F(b)-F(a)-P(X=a)+P(X=b) =F(b)-F(a)-F(a^+)+F(a)+F(b^+)-F(b)=F(b^+)-F(a^+)}\)

nie wiem czy dobrze myśle...

[szw1710]

Tak.

[Kanodelo]

To sie ciesze może jakoś napiszę to kolokwium..