Warunki żeby funkcja była dystrybuantą

[Kanodelo]

Określ warunki, jakie muszą spełnia a,b,c żeby funkcja F była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej.
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} ax^2, \ x\le 0 \\ bx+c, \ 0<x\le 2 \\ 1, \ x>2 \end{cases}}\)

Wiem, że jak funkcja składa się z dwóch części to trzeba policzyć granice i pierwsza ma być 0, a druga 1, ale tutaj mam 3 części i co teraz?

[Qń]

Warunek konieczny na to by funkcja była dystrybuantą pewnego rozkładu możesz znaleźć na Wikipedii:


Q.

[Kanodelo]

No to tak też myślałem, ale ma być spełnione \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}ax^2=0}\), a przecież ta granica wynosi \(\displaystyle{ -\infty}\) nie zależnie od a. Żeby wyszła 0, to musi być jakaś funkcja \(\displaystyle{ e^x}\), bo \(\displaystyle{ e^{-\infty}}\) dąży do zera, albo \(\displaystyle{ \frac{c}{x}}\), to też by dążyło do 0 dla stałej c... a tak to mamy \(\displaystyle{ x^2}\).

[Qń]

ma być spełnione \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}ax^2=0}\), a przecież ta granica wynosi \(\displaystyle{ -\infty}\) nie zależnie od a.

Nieprawda - istnieje jedno \(\displaystyle{ a}\), dla którego ta granica jest zerem.

Q.

[Kanodelo]

W odpowiedziach jest \(\displaystyle{ a=0}\), ale jak dla mnie \(\displaystyle{ 0 \cdot \left( -\infty\right)}\) to symbol nieoznaczony, a nie zero.

[Qń]

Ale gdzie tu masz taką nieoznaczoność? Funkcja \(\displaystyle{ 0\cdot x^2}\) to funkcja stale równa zero, a granica w minus nieskończoności z funkcji stale równej zero to zero.

Q.

[Kanodelo]

Eheh.. no oczywiście, ja już chyba za długo siedze nad zadaniami że zaczynam takie głupoty wypisywać