Prawdopodobieństwo losowo wybranego numeru

[Marshall32]

Witam,

Moglibyście rzucić okiem czy tok rozumowania jest dobry?

Oblicz prawdopodobieństwo wylosowanej 5 cyfrowej liczby, która
1) nie zawiera cyfry 2
2) nie zawiera dwóch 7

Uwzględnij, że 0 nie może być pierwszą cyfrą.

Więc,

1)
Najpierw wyliczam zbiór zdarzeń elementarnych (Wariacja z powtórzeniami 4 elementowa ze zbioru 10 cyfr) i później mnożę razy 9 ponieważ, na początku nie może stać 0.

\(\displaystyle{ \Omega = 9 \cdot 10^{4} = 90 000}\)

Wyliczam teraz ile jest 5 cyfrowych liczb bez żadnej 7. (Wariacja z powtórzeniami 4 elementowa ze zbioru 9 cyfr) i później mnożę razy 8 bo odpada 0 na początku i 7.

\(\displaystyle{ A = 8 \cdot 9^{4} = 52488}\)

Obliczam prawdopodobieństwo

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{52 488}{90 000} = 0,5832}\)

2)
Omega pozostaje taka sama.

\(\displaystyle{ \Omega = 9 \cdot 10^{4} = 90 000}\)

Muszę teraz obliczyć ile jest liczb, że dwie 7 stoją na którejś pozycji, obliczam więc kombinacje 2 elementów zbioru 5 elementowego i mnożę to razy wyliczoną wariacje z powtórzeniami 3 elementów ze zbioru 9 elementowego, ponieważ oprócz tego, że te dwie 7 zmieniają miejsca to jeszcze cyfry na pozostałych miejscach mogą ulec zmianie. W tym przypadku nie biorę jednak pod uwagę, że 0 nie może stać na początku. Chyba to wszystko jakoś niepotrzebnie komplikuję.

\(\displaystyle{ A = 10 \cdot 6561 = 65610}\)


\(\displaystyle{ P(A) = \frac{65 610}{90 000} = 0,729}\)

Napiszcie jeśli jest coś źle, albo przedstawcie swój tok rozumowania, może nie będzie taki skomplikowany.

Dziękuję, Pozdrawiam.

[Alister]

Pierwszy punkt jest poprawny, choć potem piszesz o 7 zamiast 2 ale to nie ma znaczenia

Wydaje mi się że w punkcie drugim rozumowanie jest niepoprawne i polecenie jest trochę nieścisłe. Czy chodzi o to, że nie zawiera conajmniej dwóch siódemek, czy dokładnie dwoch siódemek? Ja zakładam że chodzi o dokładnie dwie siódemki. Wtedy trzeba rozpatrywać oddzielnie przypadki gdy 7 stoi na pierwszym miejscu i gdy obie siódemki stoją poza pierwszym miejscem.

Przypadek 1 - siódemka stoi na pierwszym miejscu, wówczas mamy \(\displaystyle{ {4 \choose 1} * 9^3}\) przypadków
Przypadek 2 - siódemka nie stoi na pierwszym miejscu, wówczas mamy \(\displaystyle{ 8* {4 \choose 2} * 9^2}\) przypadków. Czyli łącznie wychodzi 2916 + 3888 = 6084 takich liczb , zatem szansa że liczba nie zawiera dokładnie dwóch siódemek to \(\displaystyle{ \frac{83916}{90000}}\)

W końcu na intuicję 'nie jest za dużo' pięciocyfrowych liczb, które zawierają dokładnie dwie siódemki.... Wydaje mi się to poprawne chociaż dawno już nie stykałem z RP