prawdopodobienstwo zdarzen losowych

[Mikolaj56]

Dzien dobry

Potrzebuje pomocy z 3 zadaniami z prawdopodowbienstwa. Bardziej mi chodzi o sposoby rozwiazania niz o wyniki:

Zadanie pierwsze:

W klasie 1A jest \(\displaystyle{ 12}\) chlopcow i \(\displaystyle{ 16}\) dziewczynek. Wszystkich ucniow ustawiono losowo w szereg. Obliczyc prawdopodobienstwo nastepujacych zdarzen:
A- pierwsza bedzie dziewczyna
B- pierwsza i druga bedzie dziewczyna
C- pierwszy bedzie chlopiec, druga bedzie dziewczyna
D- uczniowie ktorych numery w dzienniku to 2 i 4 nie beda stali obok siebie
E- pomiedzy uczniami ktorych numery w dzienniku to 2 i 4, bedzie stalo 3 uczniow

Zadanie drugie:

W klasie 2B jest \(\displaystyle{ 18}\) chlopcow i \(\displaystyle{ 15}\) dziewczynek. Z klasy tej wybieramy dwuosobowa delegacje. Obliczyc prawdopodobienstwo nastepujacych zdarzen:
A- w skladzie delegacji nie bedzie dziewczynki
B- w skleadzie delegacji bedzie dokladnie jeden chlopiec

Zadanie trzecie:

Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}}\) losujemy trzy razy po jednej liczbie bez zwracania. Obliczyc prawdopodobienstwo nastepujacych zdarzen:
A- wsrod wylosowanych liczb bedzie liczba \(\displaystyle{ 5}\)
B-wsrod wylosowanych liczb bedzie liczba \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 6}\)
C-najmniejsza wylosowana liczba bedzie liczba \(\displaystyle{ 5}\)
D- najwieksza wylosowana liczba bedzie liczba \(\displaystyle{ 6}\)
E- iloczyn wylosowanych liczb bedzie liczba parzysta
F- suma wylosowanych licz bedzie liczba parzysta

-- 25 sty 2012, o 16:18 --

Prosze o sprawdzenie czy rozwiazalem zadania dobrze i o komentarze:

W klasie 1A jest 12 chlopcow i 16 dziewczynek. Wszystkich ucniow ustawiono losowo w szereg. Obliczyc prawdopodobienstwo nastepujacych zdarzen:
A- pierwsza bedzie dziewczyna
B- pierwsza i druga bedzie dziewczyna
C- pierwszy bedzie chlopiec, druga bedzie dziewczyna
D- uczniowie ktorych numery w dzienniku to 2 i 4 nie beda stali obok siebie
E- pomiedzy uczniami ktorych numery w dzienniku to 2 i 4, bedzie stalo 3 uczniow

D1{2...28} - D1 mozna wybrac na 16 sposobow

\(\displaystyle{ P(A) = 16/28}\)

\(\displaystyle{ P(B) = 16/28 * 15/27 = 20/63}\)

\(\displaystyle{ P(C) = 12/28 * 16/27 = 16/63}\)

\(\displaystyle{ \left| Omega\right| = 16*12 = 192}\)

Licze ile jest ustawien w ktorych uczniowie stoja obok siebie:

24xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Takich ustawien jest lacznie 27, oraz drugie 27 kiedy zamienimy 2 i 4 miejscami.

\(\displaystyle{ P(D') = 54/192 = 9/32}\)

\(\displaystyle{ P(D) = 1 - 54/192 = 138/192 = 23/32}\)

Licze ile jest ustawien w ktorych uczniowie sa oddaleni od siebie o trzy miejca:

2xxx4xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Takich ustawien jest lacznie 24, oraz drugie 24 kiedy zamienimy 2 i 4 miejscami.

\(\displaystyle{ P(E) = 48/192 = 1/4}\)

W klasie 2B jest 18 chlopcow i 15 dziewczynek. Z klasy tej wybieramy dwuosobowa delegacje. Obliczyc prawdopodobienstwo nastepujacych zdarzen:
A- w skladzie delegacji nie bedzie dziewczynki
B- w skleadzie delegacji bedzie dokladnie jeden chlopiec

\(\displaystyle{ \left| omega\right| = {33 \choose 2} = ( 33! / 31! * 2! ) = 528}\)

Skoro ma nie byc dziewczynek to licze chlopcow.

\(\displaystyle{ \left| A\right| = {18 \choose 2} = 153}\)

\(\displaystyle{ P(A) = 153/528 = 51/176}\)

\(\displaystyle{ \left| B\right| = 15 * 18 = 270}\)

\(\displaystyle{ P(B) = 270/528 = 45/88}\)

Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}}\) losujemy trzy razy po jednej liczbie bez zwracania. Obliczyc prawdopodobienstwo nastepujacych zdarzen:
A- wsrod wylosowanych liczb bedzie liczba \(\displaystyle{ 5}\)
B-wsrod wylosowanych liczb bedzie liczba \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 6}\)
C-najmniejsza wylosowana liczba bedzie liczba \(\displaystyle{ 5}\)
D- najwieksza wylosowana liczba bedzie liczba \(\displaystyle{ 6}\)
E- iloczyn wylosowanych liczb bedzie liczba parzysta
F- suma wylosowanych licz bedzie liczba parzysta

\(\displaystyle{ P(A)= 1/13 + 1/12 + 1/11 = 431/1716}\)

\(\displaystyle{ P(B) = 1/13 * 1/12 + 1/13 * 1/11 + 1/12 * 1/11 = 3/143}\)

x,x,x,x,5,6,7,8,9,10,11,12,13

\(\displaystyle{ \left| C\right| = 9 * 8* 7 = 504}\)

\(\displaystyle{ \left| omega\right| = 13 * 12 * 11 = 1716}\)

\(\displaystyle{ P(C) = 504/1716 = 42/143}\)

1,2,3,4,5,6,x,x,x,x,x,x,x

\(\displaystyle{ \left| D\right| = 6 * 5 * 4 = 120}\)

\(\displaystyle{ P(D) = 120/1716 = 10/143}\)

Aby iloczyn byl liczba parzysta:

\(\displaystyle{ P * N * N = P}\)

lub

\(\displaystyle{ P * P * N = P}\)

lub

\(\displaystyle{ P * P * P = P}\)



\(\displaystyle{ 6 * 7 * 6 = 252}\)

lub

\(\displaystyle{ 6 * 5 * 7 = 210}\)

lub

\(\displaystyle{ 6 * 5 * 4 = 120}\)



\(\displaystyle{ P(E) = 582/1716 = 97/286}\)

Aby suma byla liczba parzysta:

\(\displaystyle{ P + P + P = P}\)

lub

\(\displaystyle{ N + N + P = P}\)



\(\displaystyle{ 6 * 5 * 4 = 120}\)

lub

\(\displaystyle{ 7 * 6 * 6 = 252}\)



\(\displaystyle{ P(F) = 372/1716 = 31/143}\)

Prosze o sprawdzenie i zaproponowanie innego sposobu rozwiazania.

[mat_61]

To co napisałeś do zadania 1) nie bardzo ma sens.

Proponuję na początek:

Wszystkich możliwości uporządkowania n-elementowego zbioru jest \(\displaystyle{ n!}\). Wiesz dlaczego?

W związku z tym:

\(\displaystyle{ |\Omega|=...}\)

Ta wartość musi być jednakowa dla wszystkich podpunktów, bo opisuje to samo zdarzenie.

A:
- na ile sposobów możemy wybrać pierwszą osobę?
- na ile sposobów możemy uporządkować pozostałe osoby?

B, C:
- wg takiego samego schematu jak A

D, E:
- pomysł jest w porządku. Ilość możliwości ustawienia uczniów nr 2 i 4 jest OK.
- na ile sposobów możesz ustawić pozostałe osoby?

Zadanie 2) jest dobrze.

Jak zrobisz zadanie 1) to napiszę Ci wskazówki do zadania 3.

[Mikolaj56]

\(\displaystyle{ |\Omega| = 28!}\)

Pierwsza osobe mozna wybrac na 28 sposobow, druga na 27, trzecia na 26, i tak dalej...

Po wybraniu pierwszej osoby zostaje nam 27 osob, wiec mozna je uporzadkowac na 27! sposobow. Po wylosowaniu drugiej zostaje 26 osob i 26! sposobow, i tak dalej...

\(\displaystyle{ 16!}\) - na tyle sposobow mozna wybrac pierwsza dziewczynke

\(\displaystyle{ P(A) = 16!/28!}\)

Lepiej? Nie mam pojecia jak sie takie zadania rozwiazuje.

[mat_61]

Początek jest dobry tzn. \(\displaystyle{ |\Omega|=28!}\)

16! - na tyle sposobow mozna wybrac pierwsza dziewczynke

Tutaj już jest gorzej.

Pierwszą dziewczynkę można wybrać na \(\displaystyle{ 16}\) sposobów, bo jest \(\displaystyle{ 16}\) dziewczynek i jedna z nich musi być pierwsza.

Na \(\displaystyle{ 16!}\) sposobów można by było ustawić w szeregu wszystkie \(\displaystyle{ 16}\) dziewczynek, ale nas interesuje tylko to jaka jest pierwsza osoba. Jak już ją ustawimy na tym miejscu, to pozostałe osoby (czyli 27 osób) możemy ustawiać dowolnie, czyli:

\(\displaystyle{ |A|=16 \cdot 27!}\)

Teraz spróbuj zrobić pozostałe przykłady.

[Mikolaj56]

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = 28!}\)

\(\displaystyle{ \left| A\right| = 16\cdot27!}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{16\cdot27!}{28!} = 4/7}\)

\(\displaystyle{ \left| B\right| = 16\cdot27! \cdot 15\cdot26!}\)

Nie jestem pewien co do mianownikow, albo tak, albo wszedzie \(\displaystyle{ 28!}\)

\(\displaystyle{ P(B) = \frac{16\cdot27!}{28!} \cdot \frac{15\cdot26!}{27!} = 20/63}\)

\(\displaystyle{ P(C) = \frac{12\cdot27!}{28!} \cdot \frac{16\cdot26!}{27!} = 16/63}\)

\(\displaystyle{ P(D') = \frac{27\cdot26!}{28!} + \frac{27\cdot26!}{28!} = 54/756 = 1/14}\)

\(\displaystyle{ P(D) = 702/546 = 13/14}\)

Kolejnosc osob w srodku kolejki nie ma znacznia, wiec ponownie zostaje nam 26! mozliwosci ich ustawienia.

\(\displaystyle{ P(E) = \frac{24\cdot26!}{28!} + \frac{24\cdot26!}{28!} = 4/63}\)

[mat_61]

\(\displaystyle{ P(A)}\) jest dobrze.

Z tego co widzę, to Twoje rozwiązania (nawet jeżeli wyniki są poprawne) polegają na zgadywaniu albo próbach automatycznego odtwarzania wzorca. Nie jest to dobry sposób uczenia się. Po prostu poczytaj o podstawach kombinatoryki i staraj się to zrozumieć.

Już Twoja wątpliwość:

Nie jestem pewien co do mianownikow, albo tak, albo wszedzie 28!

pokazuje, że powinieneś wrócić do podstaw.

Skoro p-stwo obliczamy jako:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{|A|}{|\Omega|}}\)

i w tym wzorze \(\displaystyle{ |\Omega|}\) oznacza liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, to dla danego doświadczenia ta wartość nie może się zmieniać.

W zadaniu 2) \(\displaystyle{ |\Omega|}\) to liczba wszystkich możliwych ustawień wszystkich uczniów.

Natomiast w kolejnych przykładach masz wyznaczyć liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających/odpowiadających opisanemu zdarzeniu. Np. w B dwie pierwsze osoby to dziewczynki. Wybierasz więc spośród dziewczynek pierwszą osobę, następnie drugą i na koniec w dowolny sposób ustawiasz wszystkie pozostałe osoby. Czyli wszystkich możliwych ustawień jest:

\(\displaystyle{ |B|=...}\)

[Mikolaj56]

Nie chodzi o to. Po prostu w przypadkach |B| i |C| kazda pozycje liczylem osobno, jak by to byly dwa niezalezne od siebie losowania. Najpierw obliczylem pierwszy czlon, a pozniej na podstawie pierwszego, drugi. Stad inne mianowniki, chociaz wynik koncowy taki sam. Oczywiscie teraz juz wiem ze poprawny zapis powinien wygaldac tak:

\(\displaystyle{ P(B) = \frac{16 \cdot15 \cdot26!}{28!} = 20/63}\)

\(\displaystyle{ P(C) = \frac{12 \cdot16 \cdot26!}{28!} = 16/63}\)

Dziekuje uprzejmie. Wciaz nie wiem, czy zadanie 3 jest rozwiazane poprawnie.

[mat_61]

Dla przykładów D i E także proponuję poprawić zapis.

Zadanie 3)

Oprócz dwóch pierwszych przykładów jest OK.

Mógłbyś napisać swój sposób rozumowania dla tych przykładów (co oznaczają te kolejne ułamki)?

[Mikolaj56]

\(\displaystyle{ P(D') = \frac{54\cdot26!}{28!} = 54/756 = 1/14}\)

\(\displaystyle{ P(D) = 1 - 54/756 = 702/546 = 13/14}\)

\(\displaystyle{ P(E) = \frac{48\cdot26!}{28!} = 4/63}\)

W trzecim zadaniu P(A) i P(B) chcialem wyznaczyc przy pomocy "drzewka".

P(A) - losuje trzy razy i wyniki sumuje

P(B) - losuje trzy razy po dwie liczby i wyniki sumuje, a dokladniej:

Liczba 5 moze zostac wylosowana jako pierwsze, druga lub trzecia. Liczba 6 analogicznie. Wszystkie wyniki sumuje.

\(\displaystyle{ P(B) = 1/13 \cdot 1/12 + 1/13 \cdot 1/11 + 1/12 \cdot 1/11 = 3/143}\)

Nie jestem pewien, ale byc moze powinienem koncow wynik przemozyc przez 2 z racji tego iz 5 i 6 moga sie zamienic miejscami.

[mat_61]

W trzecim zadaniu P(A) i P(B) chcialem wyznaczyc przy pomocy "drzewka".

Pomysł może być (choć uważam, że nie jest to najlepszy sposób), ale zobacz na wykonanie:

P(A) - losuje trzy razy i wyniki sumuje

Nie bardzo rozumiem co masz na myśli, ale z pewnością tych działań nie masz z poprawnie narysowanego drzewka.

Twoje drzewko powinno wyglądać tak:

- w wersji z każdym możliwym wynikiem losowania:

na "I piętrze" masz 13 gałęzi oznaczające p-stwa wylosowania każdej z 13 liczb. Na "II piętrze" od każdego wyniku losowania masz 12 gałęzi oznaczające p-stwa wylosowania każdej z pozostałych 12 liczb, a na "III piętrze" od każdego wyniku losowania masz kolejne 11 gałęzi oznaczające p-stwa wylosowania każdej z pozostałych 11 liczb.

- w wersji uproszczonej uwzględniającej warunki zadania:

na "I piętrze" masz 2 gałęzie oznaczające p-stwa wylosowania liczby 5 oraz innej niż 5. Na "II i III piętrze" od każdego wyniku losowania masz ponownie 2 gałęzie oznaczające p-stwa wylosowania liczby 5 oraz innej niż 5.

Ciebie interesują te "drogi" w których występuje liczba 5.

Jeżeli liczba 5 jest na "I piętrze" (i dowolne liczby na pozostałych), to mamy:

\(\displaystyle{ P(A_{I})= \frac{1}{13} \cdot \frac{12}{12} \cdot \frac{11}{11}}\)

Jeżeli liczba 5 jest na "II piętrze" (i dowolne liczby na pozostałych), to mamy:

\(\displaystyle{ P(A_{II})= \frac{12}{13} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{11}{11}}\)

Jeżeli liczba 5 jest na "III piętrze" (i dowolne liczby na pozostałych), to mamy:

\(\displaystyle{ P(A_{III})= \frac{12}{13} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{1}{11}}\)

Pierwszy czynnik oznacza p-stwo, że w I losowaniu nie będzie piątki, drugi czynnik oznacza p-stwo, że w II losowaniu nie będzie piątki a trzeci czynnik oznacza p-stwo, że w III losowaniu będzie piątka.

Analogicznie musisz rozpatrzeć wyniki losowania dla przykładu B rysując drzewko z trzema gałęziami na każdym piętrze które oznaczają p-stwa: wylosowania liczby 5, wylosowania liczby 6 oraz wylosowania liczby różnej od 5 i 6.
-------------------------------
Proponowałbym jednak rozwiązanie tych przykładów bez pomocy drzewka. Dla przykładu A wiesz, że wśród wylosowanych liczb musi być piątka:

- na ile sposobów ta piątka może znaleźć się wśród wylosowanych liczb (czyli xxx)?
- jak już wybierzesz miejsce dla piątki to na ile sposobów możesz wylosować liczby dla dwóch pozostałych miejsc?

-- 28 sty 2012, o 20:57 --

Teraz zauważyłem na czym polega błąd Twojego rozumowania przy rozwiązywaniu przykładów A i B. Ty traktujesz losowanie kolejnych liczb jako niezależne od siebie a tak oczywiście nie jest.

Jeżeli np. w A rozpatrujesz przypadek, że jako trzecia będzie wylosowana piątka, to uważasz, że p-stwo takiego zdarzenia wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{11}}\), bo wówczas losujesz spośród 11 liczb.

Zauważ jednak, że aby to była prawda to wśród tych 11 liczb musi być piątka, czyli nie mogła być ona wylosowana ani jako pierwsza (*), ani jako druga (**).

(*) p-stwo niewylosowania piątki w tym losowaniu wynosi \(\displaystyle{ \frac{12}{13}}\)

(**) p-stwo niewylosowania piątki w tym losowaniu wynosi \(\displaystyle{ \frac{11}{12}}\)

Tym samym p-stwo wylosowania piątki jako trzeciej wynosi:

\(\displaystyle{ P(A_{III})= \frac{12}{13} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{1}{11}}\)

[Mikolaj56]

Liczac drzewkiem wychodza mi takie wyniki:

\(\displaystyle{ P(A) = 1/13 + 12/13 \cdot 1/12 + 12/13 \cdot 11/12 \cdot 1/11 = 3/13}\)

AU

pZW4R.jpg (10.05 KiB) Przejrzano 324 razy

\(\displaystyle{ P(B) = 1/13 \cdot 1/12 + 1/13 \cdot 11/12 \cdot 1/11 + 1/13 \cdot 1/12 + 1/13 \cdot 11/12 \cdot 1/11 + 12/13 \cdot 1/12 \cdot 1/11 + 12/13 \cdot 1/12 \cdot 1/11 = 17/429}\)

Wiem ze istnieja duzo szybsze sposoby, niestety nie jestem w tanie sobie ich przypomniec.

[mat_61]

Co do sposobu jest OK.
Masz natomiast błąd rachunkowy przy liczeniu \(\displaystyle{ P(B)}\). P-stwo wylosowania liczby innej niż 5 i 6 w I losowaniu wynosi \(\displaystyle{ \frac{11}{13}}\) a nie tak jak napisałeś \(\displaystyle{ \frac{12}{13}}\) (prawa górna gałąź).

Wiem ze istnieja duzo szybsze sposoby, niestety nie jestem w tanie sobie ich przypomniec.

Myślę, że jednak warto.

Zobacz np. dla przykładu B jaka jest różnica w ilości obliczeń:

Wybieramy miejsce dla piątki: 3 możliwości
Wybieramy miejsce dla szóstki: 2 możliwości (z wyjątkiem tej zajętej przez piątkę)
Na ostatnim wolnym miejscu dowolna z pozostałych 11 liczb

\(\displaystyle{ |B|=3 \cdot 2 \cdot 11}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 11}{13 \cdot 12 \cdot 11} =...}\)

[Mikolaj56]

Faktycznie, dziekuje za zwrocenie uwagi oraz za pomoc przy zadaniach. Pozdrawiam serdecznie.

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{3 \cdot 12 \cdot 11}{13 \cdot 12 \cdot 11} = \frac{3}{13}}\)