losowanie 10 kart - ciąg rosnący

[Nadilladar]

Witam,

mam takie zadanie i choć zdaję sobie sprawę, że jest bardzo proste to jednak proszę o sprawdzenie:
"Dany jest zbiór 10 kart ponumerowanych od 1 do 10. Karty wymieszano, a następnie wylosowano kolejno trzy karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowane karty tworzą ciąg uporządkowany rosnąco?"

Przestrzeń zdarzeń elementarnych to zbiór trójek kart \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) wyciąganych bez zwracania, więc: \(\displaystyle{ \Omega = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720}\)

Niech zdarzenie A oznacza, że \(\displaystyle{ y>x}\), a zdarzenie B, że \(\displaystyle{ z>y}\), wtedy aby było spełnione założenie, że trzy wylosowane karty tworzą ciąg rosnący, muszą być spełnione oba zdarzenia jednocześnie.

W związku z tym trójki sprzyjające zdarzeniu \(\displaystyle{ A\cap B}\) to:

Dla \(\displaystyle{ z=3}\) mamy \(\displaystyle{ (x, 2, 3)}\), czyli jedna możliwość
Dla \(\displaystyle{ z=4}\) mamy \(\displaystyle{ (1, 3, 4), (1, 2, 4), (2, 3, 4)}\) czyli trzy możliwości
Dla \(\displaystyle{ z=5}\) mamy \(\displaystyle{ (x, 4, 5) = 3, (x, 3, 5) = 2, (x, 2, 5) = 1}\) czyli sześć możliwości
Dla \(\displaystyle{ z=6}\) mamy \(\displaystyle{ (x, 5, 6) = 4, (x, 4, 6) = 3, (x, 3, 6) = 2, (x, 2, 6) = 1}\) czyli dziesięć możliwości
Dla \(\displaystyle{ z=7}\) mamy piętnaście możliwości
Dla \(\displaystyle{ z=8}\) mamy dwadzieścia jeden możliwości
Dla \(\displaystyle{ z=9}\) mamy dwadzieścia osiem możliwości
Dla \(\displaystyle{ z=10}\) mamy trzydzieści sześć możliwości

Także łącznie otrzymujemy \(\displaystyle{ P(A\cap B) = 120}\)
Czyli w sumie prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ P = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}}\)