W przestrzeni \(\displaystyle{ L_{W}^{2}[a,b]}\) szukamy skokowych (schodkowych) ciągu funkcji losowych o ciągłych trajektoriach zbieżnego do dowolnego elementu z tej przestrzeni. Bierzemy funkcję:
\(\displaystyle{ g(t)= \begin{cases} c\exp( \frac{-1}{1+t^2}) t \in [-1,1] \\ 0 w p.p.\end{cases}}\)
gdzie c jest stała taką, że \(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}g(t)dt = 1}\). Dalej Definiujemy funkcjonał:
\(\displaystyle{ (J_{\espilon}(f))(t)= \frac{1}{\epsilon} \int_{a-1}^{b} g( \frac{t-s-\epsilon}{\epsilon} )f(s)ds}\)
, przeprowadzamy zamianę zmiennych \(\displaystyle{ z := t-s-\epsilon}\) i mamy:
\(\displaystyle{ (J_{\espilon}(f))(t)= \frac{1}{\epsilon} \int_{a-1}^{b} g( \frac{t-s-\epsilon}{\epsilon} )f(s)ds = \int_{- \epsilon}^{\epsilon} \frac{1}{\epsilon} g( \frac{z}{\epsilon} )f(t-z-\epsilon)dz}\)
i tutaj pojawia się mój problem, w skrypcie, z którego korzystam, po zamianie zmiennych mamy zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{\epsilon} g( \frac{z}{\epsilon})}\) czynnik \(\displaystyle{ g(t)}\) w ostatniej całce. Mam pewne przypuszczenia, że jest to związane z określeniem stałej c: \(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}g(t)dt = 1 \Leftrightarrow \int_{-\epsilon}^{\epsilon}\frac{1}{\epsilon} g( \frac{z}{\epsilon})dz = 1}\)
, ale nie wiem, jak to wprowadzić do wzoru na funkcjonał.