Witam, oto zadanie:
Ze zbioru {1, 2, 3, …, 2005} losujemy kolejno bez zwracania 5 liczb. tworząc z nich w kolejności losowania ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to ciąg rosnący.
Wynik: 1/120
Proszę o pomoc w rozwiązaniu
Losujemy liczby i tworzymy ciąg :>
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Losujemy liczby i tworzymy ciąg :>
Pierwszą liczbę możemy wybrać na 2005 sposobów, drugą na 2004 itd.. zatem wszystkich możliwych do wylosowania ciągów jest:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\mathbf{\Omega}}} = 2005\cdot 2004 2003 2002\cdot 2001 = {2005\choose 5}\cdot 5!}\)
Natomiast ciągów rosnących jest dokładnie tyle ile jest pięcioelementowych podzbiorów zadanego zbioru (raczej oczywiste jest, że 5 ustalonych, parami różnych liczb naturalnych możemy ustawić w ciąg rosnących tylko na 1 sposób), czyli:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\mathbf{A}}} = {2005\choose 5}}\)
Stąd szukane prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P(\mathbf{A}) = \frac{\overline{\overline{\mathbf{A}}}}{\overline{\overline{\mathbf{\Omega}}}} = \frac{{2005\choose 5}}{{2005\choose 5}\cdot 5!} = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\mathbf{\Omega}}} = 2005\cdot 2004 2003 2002\cdot 2001 = {2005\choose 5}\cdot 5!}\)
Natomiast ciągów rosnących jest dokładnie tyle ile jest pięcioelementowych podzbiorów zadanego zbioru (raczej oczywiste jest, że 5 ustalonych, parami różnych liczb naturalnych możemy ustawić w ciąg rosnących tylko na 1 sposób), czyli:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\mathbf{A}}} = {2005\choose 5}}\)
Stąd szukane prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P(\mathbf{A}) = \frac{\overline{\overline{\mathbf{A}}}}{\overline{\overline{\mathbf{\Omega}}}} = \frac{{2005\choose 5}}{{2005\choose 5}\cdot 5!} = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}}\)