Prawdopodobieństwo warunkowe

[masssa]

Dwa spośród 3 pracujących niezależnie procesorów pewnego systemu zepsuły. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że
zawiódł pierwszy i drugi procesor, jeżeli prawdopodobieństwa zepsucia się dla poszczególnych procesorów wynoszą
odpowiednio \(\displaystyle{ p_1 = 0,1, p_2 = 0,2}\) i \(\displaystyle{ p_3 = 0, 15.}\)

\(\displaystyle{ A_1 = 0.1\\
A_2 = 0.2\\
A_3 = 0.15}\)

Możliwe zajścia (\(\displaystyle{ 0}\)- zepsuty, \(\displaystyle{ 1}\) - działający)
\(\displaystyle{ \{000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111\}}\)

To, że zepsuje się pierwszy i drugi to \(\displaystyle{ \frac18}\) bo : \(\displaystyle{ 001}\)
\(\displaystyle{ P(A_1\cap A_2) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02}\).

Nie mam pojęcia co zrobić dalej

[kajus]

mamy podane w zadaniu, że 2 się zepsuły więc oraniczamy się tylko do tych sytuacji
wyróżniamy więc \(\displaystyle{ 3}\) możliwości (wg Twoich oznaczeń):
\(\displaystyle{ 1. \ 100\\
2. \ 010\\
3. \ 001\\}\)
\(\displaystyle{ \\
P_{1}=(1-p_{1})p_{2}p_{3}\\
P_{2}=p_{1}(1-p_{2})p_{3}\\
P_{3}=p_{1}p_{2}(1-p_{3})\\\\
P(A)=\frac{P_{3}}{P_{1}+P_{2}+P_{3}}}\)

aby uzyskać szukane prawdopodobieństwo dzielisz prawdopodobieństwo zajścia danej sytuacji (czyli pierwszy zepsuty, drugi zepsuty, trzeci działa) przez sumę prawdopodobieństw trzech sytuacji (odpowiednio: pierwszy działa, drugi działa, trzeci działa)
mam nadzieję że nie wypisuję to herezji i że pomogłem
pozdro

[masssa]

\(\displaystyle{ P_1 = (1-p1)p2p3}\)

dlaczego tak? to są zadania z zestawu z wzorem Bayesa i twierdzeniem bernouliniego, nie trzeba z tego korzystać?

[mat_61]

Zdarzenia dotyczące zepsucia się poszczególnych procesorów są niezależne w związku z czym p-stwo iloczynu zdarzeń jest równe iloczynowi p-stw. \(\displaystyle{ P(1)}\) oznacza p-stwo tego, że jest dobry I procesor, zepsuty II procesor i zepsuty III procesor stąd właśnie ten iloczyn.

Widzisz w zapisie kajusa analogię do wzoru Bayes'a?

Przy odrobinie dobrej woli można to rozwiązanie "zaadoptować" do wzoru Bayes'a choć uznałbym to za przyrost formy nad treścią. Wówczas możesz obliczyć p-stwo zepsucia się dwóch procesorów (dowolnych) jako p-stwo całkowite a następnie korzystając ze wzoru Bayes'a odpowiedzieć na pytanie.

Zepsuły się dwa procesory. Jakie jest p-stwo, że były to procesory I i II?

Oczywiście rozwiązanie będzie identyczne z tym zaproponowanym przez kajusa.