Ok, zadanie jest takie:
Ile razy trzeba rzucić kostką sześcienną, żeby prawdopodobieństwo otrzymania wszystkich możliwych wyników było większe niż - powiedzmy - \(\displaystyle{ 75\%\ ?}\)
Chodzi oczywiście o to, aby wśród wyników było przynajmniej po razie: \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}\) oczek.
Po 1 rzucie \(\displaystyle{ P(1)=0}\) itd, po 6 rzucie \(\displaystyle{ P(6)=\frac{1}{6^6}}\) - kto potrafi wymyślić \(\displaystyle{ P(7)}\)?
Jeśli zadanie jest bardziej z kombinatoryki to z góry przepraszam i proszę o przeniesienie
Ile rzutów kostką trzeba aby...
-
mysiak
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 20 sty 2012, o 20:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Prudnik
- Podziękował: 1 raz
Ile rzutów kostką trzeba aby...
Ostatnio zmieniony 20 sty 2012, o 21:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Ile rzutów kostką trzeba aby...
1.
\(\displaystyle{ P(6) \neq \frac{1}{6^6}}\)
Taki byłby wynik gdyby podane liczby oczek miały być wyrzucone w konkretnej kolejności. Ponieważ kolejność może być dowolna, to:
\(\displaystyle{ P(6) \neq \frac{6!}{6^6}}\)
2.
Dla 7 rzutów oprócz 6 różnych wyników musi być jeden który się powtarza. Ten powtarzający się wynik rzutu możemy wybrać na 6 sposobów. Wówczas ilość wszystkich możliwości rzutów sprzyjających podanemu zdarzeniu obliczymy jako permutacje z powtórzeniami, czyli:
\(\displaystyle{ P(7) = \frac{6 \cdot 7!}{2! \cdot 6^7}}\)
3.
Dla 8 rzutów oprócz 6 różnych wyników muszą być dwa które się powtarzają. Te dwa powtarzające mogą być jednakowe (6 możliwości wyboru) lub różne (kombinacje). Dla każdego przypadku ilość wszystkich możliwości rzutów sprzyjających podanemu zdarzeniu obliczymy jako permutacje z powtórzeniami, czyli:
\(\displaystyle{ P(8)= \frac{ \frac{6 \cdot 8!}{3!}+ \frac{ {6 \choose 2} \cdot 8! }{2! \cdot 2!} }{6^8}}\)
itd.
\(\displaystyle{ P(6) \neq \frac{1}{6^6}}\)
Taki byłby wynik gdyby podane liczby oczek miały być wyrzucone w konkretnej kolejności. Ponieważ kolejność może być dowolna, to:
\(\displaystyle{ P(6) \neq \frac{6!}{6^6}}\)
2.
Dla 7 rzutów oprócz 6 różnych wyników musi być jeden który się powtarza. Ten powtarzający się wynik rzutu możemy wybrać na 6 sposobów. Wówczas ilość wszystkich możliwości rzutów sprzyjających podanemu zdarzeniu obliczymy jako permutacje z powtórzeniami, czyli:
\(\displaystyle{ P(7) = \frac{6 \cdot 7!}{2! \cdot 6^7}}\)
3.
Dla 8 rzutów oprócz 6 różnych wyników muszą być dwa które się powtarzają. Te dwa powtarzające mogą być jednakowe (6 możliwości wyboru) lub różne (kombinacje). Dla każdego przypadku ilość wszystkich możliwości rzutów sprzyjających podanemu zdarzeniu obliczymy jako permutacje z powtórzeniami, czyli:
\(\displaystyle{ P(8)= \frac{ \frac{6 \cdot 8!}{3!}+ \frac{ {6 \choose 2} \cdot 8! }{2! \cdot 2!} }{6^8}}\)
itd.