Zmienna losowa dwuwymiarowa \(\displaystyle{ Z = \left( X,Y \right)}\) ma gęstość:
\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) =\begin{cases} x+y & x,y \in \left( 0,1 \right) \\ 0 & \mbox{w pozostałych przypadkach} \end{cases}}\)
Oblicz \(\displaystyle{ P \left( \frac{1}{4} < X < \frac{1}{2} \right) .}\)
i tu pytanie czy mam po prostu zrobic calke \(\displaystyle{ \int_{1/4}^{1/2} f \left( x,y \right) dx}\) czy jakos inaczej z granicami trzeba kombinowac?
wektor losowy
-
august6
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 22 paź 2011, o 19:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 4 razy
wektor losowy
Ostatnio zmieniony 2 gru 2014, o 19:36 przez leszczu450, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
wektor losowy
Pozwolę sobię przejąć temat i zasugerować rozwiązanie. Prosiłym kogoś kompetentengo o sprawdzenie mojego rozumowania
Rysujemy na płasczyśnie kwadrat \(\displaystyle{ (0,1) \times (0,1)}\). Tylko tam istnieje gęstość naszego wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\). Wszędzie indziej mamy zero. Dalej. Nanosimy proste \(\displaystyle{ x=1/2}\) i \(\displaystyle{ x=1/4}\). Otrzymujemy "pionowy prostokąt" i to po tym obszarze będziemy całkować. Zatem:
\(\displaystyle{ P \left( \frac{1}{4} < X < \frac{1}{2} \right) = \int_{1/4}^{1/2} \int_0^1 f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_{1/4}^{1/2} \int_0^1 x+y \ \mathrm{d}y\mathrm{d}x = \frac{7}{32}}\)
Rysujemy na płasczyśnie kwadrat \(\displaystyle{ (0,1) \times (0,1)}\). Tylko tam istnieje gęstość naszego wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\). Wszędzie indziej mamy zero. Dalej. Nanosimy proste \(\displaystyle{ x=1/2}\) i \(\displaystyle{ x=1/4}\). Otrzymujemy "pionowy prostokąt" i to po tym obszarze będziemy całkować. Zatem:
\(\displaystyle{ P \left( \frac{1}{4} < X < \frac{1}{2} \right) = \int_{1/4}^{1/2} \int_0^1 f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_{1/4}^{1/2} \int_0^1 x+y \ \mathrm{d}y\mathrm{d}x = \frac{7}{32}}\)