Zadanko z liczbami binarnymi

[garry]

Rozważmy zbiór wszystkich ciągów binarnych o długości 7. Wylosowano jeden ciąg.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie zawierał co najmniej 3 jedynki.
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w tym ciągu wystąpi seria samych zer lub samych jedynek o długości co najmniej 4.

[Szczech]

Sam zastanawiam się nad tym zadaniem, i zrobiłbym je tak:
\(\displaystyle{ |\Omega|=2^7}\) bo mamy siedem miejsc w ciągu i na każdym miejscu dwie możliwości
Ciąg ma zawierać co najmniej trzy jedynki więc albo 3, albo 4, albo 5 , albo 6, albo 7. Więc wygodniej jest wziąć prawdopodobieństwo odwrotne, czyli
\(\displaystyle{ 1-(p_1+p_2+p_3)}\)
\(\displaystyle{ p_1=\frac{2^6}{2^7}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ p_2=\frac{2^5}{2^7}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ p_3=\frac{2^4}{2^7}=\frac{1}{8}}\)

Tylko chyba o czymś zapomniałem, bo np prawdopodobieństwo, że będzie tylko jedna jedynka jest dosyć małe (tylko \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), dlatego proszę o poprawienie

[*Kasia]

AD.1
Prawdopodobieństwo zera jedynek:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^7}}\)
Prawdopodobieństwo, że będzie zawierał jedną jedynkę:
\(\displaystyle{ \frac{C^1_7}{2^7}}\), ponieważ wybieramy jedno z siedmiu miejsc, gdzie możemy umieścić jedynkę.
Prawdopodobieństwo, że będzie zawierał dwie jedynki:
\(\displaystyle{ \frac{C^2_7}{2^7}}\)
Prawdopodobieństwo, że będzie zawierał trzy jedynki:
\(\displaystyle{ \frac{C^3_7}{2^7}}\)
i.t.d.
Czyli prawdopodobieństwo, że będzie zawierał co najmniej 3 jedynki to prawdopodobieństwo odwrotne do 0, jednej lub dwóch jedynek:
\(\displaystyle{ P=1-(\frac{1}{2^7}\ +\ \frac{C^1_7}{2^7}\ +\ \frac{C^2_7}{2^7})}\)


AD.2
Metoda "na około", ale trudno... Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające.
\(\displaystyle{ P=\frac{2\cdot (4+3+2+1)}{2^7}=\frac{20}{2^7}}\)